Задать вопрос юристу

Порядок, беспорядок и симметрия

На первый взгляд мир кажется сложным, беспорядочным, случайным. Классический рационализм, породивший науку, основан на том, что мир сводим к субстанции, простой и единственной (материя), расположенной в определенном порядке и необходимой, что подтверждается результатами классической науки.

Материя — это совокупность частиц, обладающих массой, эквивалентной энергии в соотношении Е = тс2, и электрическим зарядом; частицы и совокупности частиц, образующие тела, управляются законом Ньютона в том, что касается их массы — энергии, и законами Максвелла и Лоренца в том, что касается их электрического состояния (которое становится электромагнитным, когда заряды приходят в движение). Этот вековечный взгляд на вещи был ниспровергнут квантовой физикой. В ней материя является совокупностью частиц, которые по-прежнему характеризуются массой и электрическим зарядом, но они постоянно находятся в беспорядке, который невозможно ни предусмотреть, ни описать; некоторым системам частиц знакомы состояния стабильности (именно их и изучает наука), но их основное свойство — зависеть от случая, то есть они поддаются расчетам теории вероятностей; к тому же частицы не являются объектами объективной реальности, но феноменами (в философском смысле слова), которые иной прибор для наблюдения представляют в виде волн.

Отношение эпистемологии и квантовой теории можно кратко передать в аллегорической форме с помощью Шалтай-Болтая и Доналда Дака. В Предисловии к «Охоте на Снар-ка» (1876 г.) Льюис Кэрролл пишет несколько строк о том, что он называет, применительно к этому тексту, «словами-чемоданами», в которых можно увидеть поэтическое предвидение корпускулярно-волнового дуализма:

«Теория Шалтай-Болтая, то есть теория двух значений, заключенных в одном слове, как в чемодане, мне кажется, может все объяснить. Возьмите, например, два таких слова: «раздраженный» и «сердитый». Вообразите, что вы хотите сказать оба, но не выясняйте, какое из них вы хотите произнести первым. Теперь откройте рот и говорите. Если ваши мысли хоть чуть-чуть склоняются к «раздраженный», вы скажете «раздраженный — сердитый»; если вы хоть на волос склоняетесь к «сердитый»,

Роже Каратини

530

вы скажете «сердитый —раздраженный»; но если вы обладаете таким редчайшим даром, как уравновешенность, то вы скажете «раздраженный».

В английском тексте слова, которые надо уплотнить, это — fuming (раздраженный) и furious (сердитый), что дает frumious; перевод «не выясняйте» не слишком точен — в английском тексте — «leave it unsettled*, то есть «оставьте неоформленным», в том смысле, в каком предложение может быть оформленным или неоформленным: не следует забывать, что Льюис Кэрролл был логиком. Слово-«чемодан» отражает дуализм реальности смыслового содержания; но само оно является лишь оформлением содержания. Это логико-юмористическое замечание отлично соответствует отказу от исключенного третьего (существует третье возможное решение между «раздраженный» и «сердитый») и принципу дополнительности.

В этом «алогичном» мире (в том смысле, в каком его употреблял Аристотель) царит величайший беспорядок. Наша следующая литературная ссылка взята из Грегори Бейтсона, американского этнографа, написавшего, в частности, «Церемонию в Нэйвене» (1936 г.) и хитроумную «металогию» (которую сам он определил как беседу на проблемные темы), пытаясь перебросить мостик взаимодействия между обыденным поведением и упорядоченной, нормативной моделью природы (это «метало-гия» описана в 1948 г.

в «Почему вещи приходят в беспорядок?»). Отец беседует с Дочерью, которая спрашивает: «Папа, почему вещи приходят в беспорядок?» В ответе Отца анализ понятия «порядок» начинается с открытия его относительности: «Уверена ли ты, что, когда ты говоришь «в порядке», ты имеешь в виду то же самое, что и кто-то другой? Если мама уберет твои вещи, потом ты их ищешь?» Затем речь заходит об определении порядка описательным методом: считается, что эта коробка с красками «на своем месте», если она здесь, на этом углу этажерки, но если она лежит на другом углу, то она «не на своем месте»; она не в порядке, даже если она находится на нужном углу, но стоит криво и т. д. Вывод Отца: «Есть очень мало мест, которые можно было бы считать соответствующими понятию «в порядке», когда речь идет об этой коробке с красками», а Дочь уточняет: «Такое место только одно...» — «С учетом вышесказанного, в природе гораздо больше мест «в беспорядке», чем «в порядке», — говорит Отец, — и вся наука на этом и стоит».

Логика и эпистемология

531

\ И теперь мы подошли к модели Дака Доналда: «Иногда в кино можно увидеть буквы алфавита, разбросанные по экрану в пол-

¦ ном беспорядке, а некоторые даже лежат на боку или вверх ногами. Затем буквы начинают дергаться, двигаться, а затем собираются вместе и, наконец, образуют название фильма». Дочь ему отвечает: «Да, я это видела. Получилось ДОНАЛД». — «А между тем, — продолжает Отец, — существуют миллионы и миллионы различных способов расположить шесть букв на доске (учитывая не только смысловой порядок последовательности букв, но и порядок их размещения на доске), и речь может идти не только о Доналде. Беспорядок имеет больше шансов осуществиться в природе: порядок, состояние равновесия — всего лишь редкое исключение: вещи всегда склонны к беспорядку и перемешиванию».

* * *

Беспорядок и перемешивание не исключают порядка ни в мыслях, ни в том, что предшествует мысли и порождает ее, а именно в опыте восприятия, к которому необходимо вернуться. Основанием перцептивного опыта является изучаемая нейропсихологией наша нервная система, чью работу мы плохо знаем, но она воспринимает действующие на организм раздражители от внешней среды, находящейся в хаотичном состоянии, и проводит первичную обработку этого воздействия, приводя его в порядок. Сетчатая оболочка нашего глаза не способна поштучно отбирать фотоны, которые на нее попадают, а когда мы получаем электрический разряд, наше осязание и болевые восприятия не приспособлены для того, чтобы отделять электроны. Мы воспринимаем только поток фотонов, массовое нашествие электронов — организованных систем, редко встречающихся в океане беспорядка. К тому же эти элементарные восприятия элементарны только по названию, а по сути они глобальны, они смешиваются с другими и находятся все вместе в поле восприятия. Еще в 1890 г. австрийский искусствовед фон Эренфельс объяснял, что восприятие мелодии, состоящей из ряда звуков, которые следуют друг за другом во времени, не является просто суммой отдельных частей, «элементарных» звуковых ощущений, но к ним добавляется специфическая характеристика целого, восприятие отношений между звуковыми

Роже Каротини

псевдоэлементами, «гештальткачество» переживания (мелодию можно транспонировать, то есть переложить все ноты в том же самом порядке из одной тональности в другую, не испортив мелодического впечатления: «Лунный свет» можно узнать как в до-мажор, так и в соль и т. д.). На наблюдениях такого рода и на психологических экспериментах, ставших уже классическими, группа представителей Берлинской психологической школы (К. Коффка, В. Кёлер, М. Вертгеймер), живших в США с 30-х годов XX в., разработала одно из ведущих направлений в западноевропейской психологии, психологию формы, геш-тальтпсихологию (Gestaltpsychologie): Gestalt— образ, форма, конфигурация — это целое, принципиально несводимое к сумме составляющих его частей; оно имеет особую структуру, и основной критерий гештальта — возможность транспонирования.

Среди миллионов способов расположить на экране буквы Д, О, Н, А, Л, Д спонтанно воспринимается группа из букв, собранных в горизонтальный упорядоченный ряд на отдельной части экрана. Для не умеющих читать (возможно, и для Дочери из сочинения Бейтсона) совершенно одинаково воспринимается ДОНАЛД, ЛОНАДД и т. д. (существует 720 возможных вариантов сочетания шести букв имени знаменитого утенка); наш спонтанный выбор, среди множества возможных полей восприятия, равнодушно падет на одну из этих 720 пермутаций. Умеющие читать остановят свой выбор на таких группах, как OLD DAN («старина Дэн») или ДОНАЛД. Если им к тому же знакомы мультфильмы Уолта Диснея, они выберут, скорее всего, ДОНАЛД; но если среди них найдется некто по фамилии LANDOD, он, разумеется, воспримет в первую очередь это сочетание. Вот мы и набросали контуры того, что гештальтисты называют законом наилучшей формы: когда при возможности нескольких видов структуры поля восприятия гештальт стремится перейти в состояние наилучшей формы (то есть в состояние максимально возможного при данных условиях равновесия, наиболее соответствующее моей манере восприятия, обладающее наибольшей осмысленностью).

Еще в 1920 г. Кёлер доказал, что психологию восприятия, то есть уровень образования представлений, понятий, можно распространить на область физических явлений: существуют физические формы, то есть материальные системы, представляю

532

Логика и эпистемология

щие собой по своей функциональной структуре нечто другое, чем просто сумма элементарных, или псевдоэлементарных, «частей». Возьмем, например, проводник, однородный, не теряющий своей формы, изолированный внутри диэлектрика, тоже однородного, и дадим ему в какой-то точке электростатический заряд. (Это событие, кстати, может быть названо катастрофой в рамках современной теории катастроф Р. Тома.) Количество электричества является аддитивной величиной; допустим, что проводник имеет положительный заряд: это означает, что он теряет какое-то количество электронов, поскольку каждый потерянный электрон увеличивает его положительный заряд на абсолютную величину е (символ, означающий в физике элементарный заряд). Если мы будем повторять катастрофу, то конечным зарядом будет сумма даваемых друг за другом зарядов, независимо от того порядка, в каком это происходило, и независимо от того, каким является этот проводник. Этого нельзя сказать о величине «распределение заряда», зависящей от геометрической формы тела; на поверхности данного проводника электричество имеет свою собственную структуру — это физическая форма. Другой пример касается электрослабого взаимодействия: два проводника, находящиеся на достаточно близком расстоянии друг от друга, осуществляют электрослабое и электромагнитное взаимодействие; величина электризации зависит от формы каждого из этих двух тел, от их расстояния друг от друга и т. д., то есть от Gestalt того комплекса, который они образуют. Вообще говоря, все статические совокупности тел, находящихся в равновесии, представляют собой наилучшую форму; это же относится и к стационарным процессам (например, распространение волны — механической или электромагнитной — порожденной осциллятором; медленная химическая реакция в среде, в которой продукты реакции немедленно устраняются, и т. д.), и к квазистационарным. Энергетические состояния атома, которые называются энергетическими уровнями, являются наилучшей формой; в свете теории относительности наилучшей формой для единственного электрона атома водорода является та форма, которая выводит его на слой К, соответствующий энергетическому состоянию Е\ = 13,6 электровольт.

Еще один пример такой гештальтструктуры поля восприятия с научной точки зрения можно взять из истории термоди

533

Роже Каротини

намики. Эта наука возникла в XIX в. в результате работ Уатта, Карно, Джоуля, лорда Кельвина. Эксперименты, устанавливающие начала термодинамики (измерение количества сообщения теплоты и ее приращения в системе, преобразование какого-то количества теплоты в механическую энергию и обратно), расширяют поле восприятия, придавая опыту восприятия количественные параметры и объективность: классическая термодинамика описывает общие внешние свойства макроскопических систем. В 1850—1875 гг. новое поколение ученых (Клау-зиус, Максвелл, Больцман) пытается пойти дальше и разрабатывает кинетическую теорию газов: согласно этой теории, внешние кинестетические процессы, изученные Карно и Джоулем, в применении к идеальным газам объясняются на основе законов движения и взаимодействия молекул (броуновское движение) в жидкостях или газах. Итак, возьмем макроскопическую систему; совокупность параметров этой системы, значения которых можно получить (температура, давление, например), определяет ее состояние, называемое макроскопическим состоянием; макросостояние, которое не стремится эволюционировать со временем, является равновесным макросостоянием (наилучшая форма): значения всех параметров не зависят от времени (они слегка колеблются вокруг средней величины). Но за этим внешним порядком скрывается большой беспорядок, беспорядок микроскопических состояний частиц, составляющих систему, — это квантовые состояния; таким образом, описание системы частиц заставляет привлечь следующие познавательные процессы:

1) каждая частица находится в каждый определенный момент в квантовом состоянии, определяемом законами квантовой физики (это определение не имеет абсолютного значения: оно ограничено соотношением неопределенностей Гейзенберга);

2) все N молекулы системы образуют совокупность, подлежащую интегрированию (можно вычислить интеграл, то есть интегральную сумму; это не простая сумма, но аддитивная структурная совокупность); совокупность этих ТУ-квантовых состояний называется микросостоянием / системы;

3) существует квазибесконечность возможных микросостояний /, которые образуют допустимые состояния системы, квантовые состояния, совместимые с информацией о системе, имеющейся в распоряжении;

534

Логика и эпистемология

4) вероятность того, что микросостояние системы будет /, чего можно достичь двумя путями: или на базе /У вероятностей, чтобы частицы системы были в различимом состоянии е1; или на базе общего числа О доступных состояний системы («П» читается «омега», это последняя буква греческого алфавита), состояний, доступных уровню энергии Е.

Однако для физика самыми интересными состояниями являются состояния равновесия. Они интересуют не только физиков: хозяйка, которая желает сохранить напиток свежим, ставит его в холодильник, где давление и температура остаются постоянными (с большей или меньшей точностью, в зависимости от марки холодильника), она не менее заинтересована в сохранении этого состояния равновесия, чем авиаконструктор, который должен обеспечить в кабине стандартную атмосферу, чтобы никто в самолете не пострадал, и т.п. Как же определить состояние равновесия? Расчет вероятности того, чтобы частица системы находилась в состоянии ех, невозможен; определение Рг ([) должно, следовательно, включать в себя изучение состояний доступности на данном уровне энергии. И, чтобы понять статистическое определение Рг (/), можно привести простой пример игрального кубика, каждая из шести сторон которого имеет насечки или точки, обозначающие 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Предположим, что этот кубик постоянно встряхивают в каком-то замкнутом пространстве, наподобие тех, которыми пользуются, вытаскивая наугад выигрышные номера в лотерее, и пусть его время от времени выбрасывает из этого вместилища; какое-то время он катится, затем останавливается, и тогда можно увидеть, что выпало: 1, 2 или 3 и т. д. Назовем состояние кубика по выпавшей точке состоянием равновесия, обозначим точку через / и попытаемся рассчитать Рг (г). Если кубик подделан и если этот обман не открылся, когда мы бросили кубик (вообразим нечистую силу в роли шулера), то мы не сможем рассчитать Рг (/), если только нам не известно, в чем именно состоит подделка; тогда все шесть значений / не являются равновероятными (одно значение имеет больше шансов, чем другие, выпасть, поскольку кубик фальсифицирован). Если кубик в порядке, то есть имеет правильную форму, совершенно сходные стороны, если вес краски для обозначения точек одинаков на всех гранях и т. д., короче, если он абсолютно симметричен во всех отношениях, тогда все его шесть граней имеют одина

535

Роже Каротини

ковую вероятность выпасть, и возможность появления каждой из них равна 1/6. Отсюда общее определение состояния равновесия: система находится в состоянии равновесия, когда (и только тогда) все ее достижимые состояния равновероятны; тогда мы имеем:

* * *

А теперь попытаемся, совершив маленький плагиат, написать новую металогию о беспорядке, как это сделал Бейтсон. Наша металогия тоже будет представлена в форме беседы с маленькой девочкой, которую назовем Заза.

Отец: Материя находится в состоянии хаоса. Однако, если все состояния равновероятны, можно рассчитать возможность появления состояния равновесия.

Заза: А шулер в виде нечистой силы существует?

Отец: Само собою разумеется. Вот почему так трудно заниматься физикой.

Заза: Он всегда вмешивается?

Отец: В принципе, да; но иногда можно устроить так, чтобы он не смог действовать, скажем, наподобие того, как отгоняют вампиров косицами из чеснока. Это называется «изолировать систему».

Заза: А если ее невозможно изолировать?

Отец: Есть еще один способ. Если шулер подделывает кубик, то невозможно узнать, какая выпадет цифра...

Заза: Шесть!

Отец: Почему «шесть»?

Заза: Потому что мне шесть лет.

Отец: Ты сама нечаянно сыграла роль шулера. Но будем серьезны. Если я брошу кубик один-единственный раз, то я не могу рассчитать вероятность получить цифру 6. Но если я брошу кубик 6 тысяч раз...

Заза: Устанешь.

Отец: Да, но философы и физики утомляют себя таким образом вот уже две с половиной тысячи лет, и ведь таких людей немало. В конце концов, играть в теннис тоже утомительно.

536

Логика и эпистемология

Ладно. Я бросаю кубик 6 тысяч раз; если он в порядке, я должен получить около тысячи раз цифру 6. Если же цифра 6 мне выпадет 2 тысячи раз, значит кубик подделан.

Заза: Почему? Разве шулер знает, что мне шесть лет?

Отец: Нет, наверное, он этого не знает. Но неважно. Закон больших чисел говорит нам, что если бросать кубик очень часто, то чем больше будет число бросков, тем в большей степени результат не будет зависеть от случая, тем чаще он будет приближаться к теоретической вероятности попадания в цель.

Заза: Это очень сложно.

Отец: Нет. Если кубик нормальный и если его бросить шесть раз подряд, цифра 6 может не выпасть ни разу; но если его бросить 6 тысяч раз, то получишь тысячу раз цифру 6 плюс-минус 20 раз; например, 980 раз выпадает цифра 6 или 1020 раз, но в высшей степени невероятно получить 2 тысячи раз шестерку.

Заза: Так не могло бы получиться никогда?

Отец: Все возможно. Значит, так может случиться. Но это очень маловероятно, и мы решили раз и навсегда, мы — люди и физики, которые такие же люди, как ты и я, что мы не будем брать в расчет то, что очень маловероятно.

Заза: Ах! Я поняла. Когда я не вижу свои красные туфельки, то, вероятнее всего, они просто потерялись где-то в доме; может быть, они под моей кроватью или в стенном шкафу, но — очень маловероятно, что их украли. Тогда я говорю: «Я потеряла свои туфли», а не «Кто украл мои туфли?».

Отец: Ты поняла. Вернемся к кубику. Он фальсифицирован, значит, я не могу рассчитать Рг (6). Вместо того чтобы бросать кубик 6 тысяч раз, можно также положить в пустой вращающийся шар 6 тысяч одинаковых кубиков: если сделать так и если все кубики в норме, то, разом опрокинув шар...

Заза: Бру-у-ум...

Отец: Мы насчитаем около тысячи кубиков с цифрой 6; если их будет 2 тысячи, это будет означать, что они фальсифицированы. Когда все цифры (состояния) равновероятны, то система из 6 тысяч кубиков находится в состоянии равновесия.

Заза: Нет, она не находится в равновесии, поскольку кубики двигаются во все стороны внутри шара.

Отец: Равновесие означает, что, когда они вот так вот дви

537

Роже Каротини

гаются, нет ни одного кубика, который отличался бы от другого. Вот почему все состояния равновероятны.

Заза: А если шулер все время тут и портит то один кубик, то другой? Наугад?

Отец: В этом случае мы будем много-много раз опрокидывать шар, чтобы высыпать все кубики. Если он будет подделывать все время одни и те же кубики, то мы это в конце концов заметим и сможем, изменив данные, считать систему равновероятной. Например, если будет выпадать два раза по 6 в среднем, то мы будем считать, что в шаре будто бы больше на тысячу граней с шестерками; вероятность того, что выпадет шестерка, будет тогда 2/6: строго говоря, у нас не будет тогда системы в равновесии, но мы все же сориентировались бы и разобрались.

Заза: А если он все время будет действовать наугад?

Отец: Тогда физика становилась бы все труднее и труднее. Потребовалось бы очень много розыгрышей...

Заза: Миллионы и миллионы?

Отец: А может быть, миллиарды и миллиарды, кто знает? Применяя закон больших чисел, мы в конце концов постигли бы вероятность того, что шулер подделывает скорее 6, чем 5 или какую-то другую грань; можно было бы также утверждать, что любая система подделки равновероятна.

Заза: И тогда в равновесии находилась бы не система кубиков, а система подделок.

Отец: Да.

Заза: Папа, почему взрослые устраивают войну, вместо того чтобы драться, как дети?

Отец: Заза, ты жульничаешь. Эта фраза принадлежит дочке Бейтсона в конце обсуждения вопроса: «Почему вещи приходят в беспорядочное состояние?» Из-за тебя я столкнусь с вопросом об авторском праве.

Заза: Что это такое — авторское право?

Отец: Это — нечто гораздо более сложное, чем теория состояний равновесия.

* * *

Хаос материи невообразим. Наука может учитывать только упорядоченные системы и их уровень порядка, то есть состояния равновесия (когда допустимые состояния равновероятны),

538

Логика и эпистемология

и число возможных состояний, равновероятных или нет, для измерения беспорядка. Функция, найденная для измерения уровня беспорядка в системе, называется энтропией; в физике ее обозначают символом 5. Проще всего было бы утверждать, что ? = О.; но по некоторым причинам, как техническим, так и теоретическим, мы определяем 5 через возрастающую функцию, где

Б= к\пО. ,

где к является энергетической постоянной, названной постоянной Больцмана, а 1п О — Неперовым логарифмом от ?1 (который возрастает вместе с П); чем больше возрастает энтропия системы, тем больше в ней беспорядка, а чем энтропия меньше, тем более упорядоченной является система. В замкнутой системе энтропия нарастает необратимо; чтобы энтропия начала убывать, необходима катастрофа, тогда она может достичь равновесного состояния. Так, куча кирпичей, навалом выгруженных с самосвала, является беспорядочным образованием, энтропия которого очень велика («энтропию» нужно понимать иносказательно); если эту систему предоставить самой себе, то ее беспорядок будет возрастать: буря отбросит несколько кирпичей в сторону, какой-нибудь мальчишка схватит кирпич и кинет его вдаль, ураган разбросает еще больше кирпичей, и куча уже перестанет быть кучей и т. д. «Катастрофой» для кучи кирпичей будет приход каменщика, явившегося извне системы и придающего ей больше порядка: из кирпичей он строит стену, и если кирпичи все одинаковы, то вероятность того, что один из них займет ряд т и столбец п, одинакова для всех кирпичей: стена является системой, энтропия которой слаба (порядок велик) и она в равновесном состоянии (это относится к кирпичам).

Но в этом процессе нет ничего естественного. И сама стена, изолированная от любого внешнего вмешательства, со временем все равно будет разрушаться, теряя то один кирпич, то другой и т. д., до тех пор, пока не будет достигнут высокий уровень энтропии кучи кирпичей, разбросанных по всей Вселенной.

Человеческая мысль изучает должным образом лишь то, что устойчиво — наилучшие формы — и внешне кажется вечным.

539

Роже Каротини

Вот почему первой областью знаний, которая поднялась до уровня науки, была астрономия Солнечной системы: Солнце и планеты образуют систему, находящуюся в динамичном равновесии, подчиняющуюся закону гравитации. Однако эта система повреждается, поскольку молекулы, которые входят в состав звезд, распадаются, ионы и атомы понемногу ускользают из Солнечной системы и теряются в космическом пространстве, вначале в пределах Галактики, а потом за ее пределами; энтропия системы возрастает, и через какое-то число лет, число порядка миллиарда, беспорядок достигнет своего максимума.

Основная схема научного мышления, на которой основано эпистемологическое усилие, не является таким образом ни совокупностью детерминизма и закона исключенного третьего классической физики, заимствованных у логики и метафизики Аристотеля, ни неопределенностью и вероятностью квантовой физики. Наука изучает системы, находящиеся в равновесии или стремящиеся к равновесию: модель атома определяет уровни энергии, и физики-ядерщики поступают так же, чтобы построить модель ядра, с учетом того, что нуклоны — частицы, входящие в состав ядра, — распределены на 175 дискретных энергетических уровней и имеют квантовые числа, которые их характеризуют. Ориентиры в любой материальной действительности, изменяющейся случайным образом, являются эквивалентом состояний равновесия термодинамики, которые предполагают равновероятность допустимых состояний. Если говорить более геометрическим языком, то эквивалентом равновероятности является симметрия, одно из самых многоплановых понятий современной науки.

Остановимся на этом понятии. Прежде всего, оно геометрическое как с описательной точки зрения, так и в отношении пригодности для математических действий. Симметрия, которую описать проще всего, — это симметрия на плоскости по отношению к прямой, которая выполняет функцию оси симметрии: точки фигуры FH точки симметричной фигуры F' соответствуют друг другу взаимно однозначно, так, чтобы ось симметрии была медиатрисой отрезка прямой, который соединяет какие-нибудь две подобные точки. Действие, которое устанавливает соответствие между двумя симметричными точками, является перевертыванием; нарисуем фигуру Fna листе бу

540

Логика и эпистемология

маги, который мы сложим по прямой х' х: каждая точка ^перенесена на точку М по другую сторону х' х, и мы получаем, таким образом, фигуру Т7' симметричную Б по отношению кх'х, которая сыграла роль шарнира. Отметим, что фигуры Б и Р ' являются плоскими (в двух измерениях), и, чтобы их наложить одну на другую, нужно сложить лист, то есть располагать третьим измерением, чтобы осуществить складывание, которое дает Р' : невозможно наложить их друг на друга простым скольжением по плоскости. Обе симметричные фигуры РпР' «равны» (например, два симметричных треугольника имеют равные стороны, а также все остальные элементы равные), но их нельзя наложить друг на друга на плоскости. Если мы повторим аллегорию Пуанкаре о совершенно плоских существах, которые жили бы на плоской поверхности и не имели бы представления о существовании третьего измерения, то эти существа констатировали бы существование симметрии на плоскости, умели бы построить фигуру Р', симметричную фигуре Д по отношению к оси х' х плоскости, на которой они живут, но они никогда не сумели бы наложить друг на друга две плоские симметричные фигуры. Мы же, трехмерные человеческие существа, умеем это делать, но для нас невозможно кое-что другое: например, мы устанавливаем тот факт, что обе перчатки одной пары равны, но мы не знаем способа наложить их друг на друга (понадобилось бы перейти от третьего измерения к четвертому); точно так же, когда мы поднимаем правую руку перед зеркалом, наше отражение поднимает левую руку, и тут тоже три измерения нашего обыденного опыта не дают нам возможности провести наложение фигур.

Понятие симметрии можно расширить, применив его не только к геометрическим объектам; это понятие употребляется в теории множеств, в теории матриц во всех научных исследованиях, в теории уравнений, в алгебре, в топологии и т. д.; только что мы встречали понятие симметрии в исчислении бесконечно малых вместе с понятием равновероятности: именно абсолютная симметричность кубика во всех направлениях и позволяет говорить, что выпадение одной какой-то грани соответствует вероятности \ и т. д. Многочисленные примеры гео-

6

метрической симметрии встречаются в природе, и они пора

541

Роже Каратини

зили минералогов (которые разработали теорию кристаллов, основанную на их симметрии) и биологов; симметрия встречается и на молекулярном уровне (пространственные изомеры химиков). Но самым общим подходом к симметрии любого элемента является теория групп.

Группой называется совокупность элементов, с заданным законом композиции:

— бинарным (то есть который удовлетворяет условиям двух элементов группы а и Ь);

— внутренним (то есть результатом композиции а и b будет элемент с, который является частью группы);

— ассоциативным (то есть, чтобы расположить в таком порядке a, b и с, можно вначале составить ab = d, а затем dec, чтобы получить abc = de ~f, или же составить а с результатом композиции bc = g, что даст нам af=f).

Более того, любой элемент группы можно симметрично расположить по закону композиции, о котором идет речь, то есть существует элемент е, называемый нейтральным элементом, так что для любого х, принадлежащего группе, мы имеем ех = хе = х. Если операция является коммутативной (ab =Ьа = с), то группа называется абелевой группой, или коммутативной; в противном случае она не коммутативна. Элементами группы могут быть операции, геометрические преобразования, симметрии геометрической фигуры, матриц и т. д. Среди более точных примеров групп есть один, который играет важную роль в алгебре, пример подстановок из п элементов. Например, подстановка из 5 элементов является взаимно однозначным соответствием двух перестановок пяти элементов:

Г53124Л

является подстановкой, в которой 5 превращается в 3, 3 — в 1 и т. д., поскольку оба ряда из пяти цифр сами являются двумя частными перестановками ряда (1, 2, 3, 4, 5). В этой группе элементы а, Ь,...являются подстановками, такими, как з (см. выше), а нейтральный элемент е = 1 является тождественной подстановкой, которая преобразует ряд из 5 цифр в самое себя.

542

Логика и эпистемология

Итак, возьмем множество подстановок из и элементов и проведем операцию, которую назовем умножением; она состоит в том, что мы будем последовательно производить две подстановки 5 и I в данном ряду; результатом будет третья подстановка р. Докажем, что эта бинарная операция является внутренней, ассоциативной и что тождественная подстановка является нейтральной для этого преобразования. Итак, мы имеем группу для этого закона композиции. Например, для п — 5, рассмотрим подстановку:

произведение р — st этих двух подстановок — это:

Г53124^

(5 становится 3 при подстановке л, а 3 становится 2 при подстановке /; затем 3 становится 1 с .у, а 1 становится 3 с г и т. д.). Нейтральный элемент, обозначенный 1, является тождественной подстановкой:

53124" 53124, '

В то же время можно легко увидеть, что группа подстановок из 5 элементов является конечной группой (она содержит конечное число элементов). И действительно, любая подстановка на базе ряда 1, 2, 3, 4, 5 бывает получена, если написать одну из 5! перестановок этого ряда (5! = 1x2x3x4x5 = 120). Вообще говоря, группа подстановок при п — 5 является группой для умножения; она конечна и порядка п!{ = она содержит п! элементов); она не коммутативна для п > 3. Эта очень важная группа называется симметричной группой п элементов.

В квантовой физике приходится использовать матрицы (таблицы, состоящие из т строк и п столбцов, элементы которых находятся на пересечении строк и столбцов). Матрицы пригодны для определенного числа операций. В частности,

543

Роже Каратини

вводятся квадратные матрицы порядка 2 (из 2-х строк и 2-х столбцов), порядка 3 (из 3-х строк и 3-х столбцов), которые удовлетворяют определенным условиям, которые здесь можно не уточнять; они образуют группы, названные Би (2) и БТЛ (3), которые являются группами симметрии: они служат для описания свойств симметрии некоторых элементарных частиц.

Эти общие сведения о симметрии свидетельствуют о сложности этого понятия, связанного с не менее важным понятием инварианта. В физике действительно встречаются так называемые законы сохранения, выражающие идею инвариантности некоторых физических свойств при преобразованиях пространственно-временных координат замкнутой системы. Наличие таких законов находится в прямой связи с симметрией законов природы, которая может быть изучена в самых мудреных случаях (например, физика частиц) с помощью теории групп. Вот несколько примеров.

Теория относительности может быть изложена как инвариантность законов физики для определенной группы симметрии, названной группой Пуанкаре (называемой также и неоднородной группой Лоренца).

Взаимодействия между элементарными частицами соблюдают принципы сохранения по отношению к квантовым числам, которые их характеризуют: общий электрический заряд частиц, которые взаимодействуют, сохраняется при всех взаимодействиях; это же относится и к барионному числу В (равному 1,-1 или 0, в зависимости от типа элементарных частиц), и к лептонному числу (тоже равному 1,-1 или 0, в зависимости от типа частиц). Некоторые квантовые числа (странность, спин изотопный) сохраняются только в некоторых взаимодействиях.

Интересным случаем являются адроны. Чтобы иметь представление, о чем идет речь, напомним, прежде всего, несколько основных определений. Физический объект называется частицей, когда он имеет два следующих свойства: 1) можно считать, что он обладает массой и определенным электрическим зарядом; 2) его поведение в электрическом или магнитном поле может изучаться, если считать его размеры нулевыми, принимать

544

Логика и эпистемология

его за геометрическую точку. Электрон с его отрицательным зарядом, протон, нейрон являются хорошо известными примерами частиц. Кроме того, в релятивистской квантовой механике уравнение Шрёдингера, о котором речь шла выше, более не имеет силы, так как скорость частицы не является теперь бесконечно малой величиной по сравнению со скоростью света в вакууме; теперь необходимо использовать другое уравнение, выведенное Дираком в 1929 г. и определяющее энергию изучаемой частицы. А гипотезы, заключенные в уравнении Дирака, относительно релятивистского электрона (т. е. электрона, скорость которого приближается к скорости света) указывают на наличие симметрии; они заставляют считать, что существует два вида электронов, одни с положительной энергией (это классические отрицательные электроны), а другие — с отрицательной энергией. Чтобы объяснить это последнее предположение, Дирак выдвинул гипотезу, что в его уравнении описан положительно заряженный электрон, который он назвал позитроном. Эта частица, предсказанная для обоснования теоретически полученного результата, оказалась отнюдь не гипотетической, поскольку она была открыта в 1935 г. (шесть лет спустя после работ Дирака) Андерсоном. Вообще говоря, подтвердилось предположение Дирака о возможности рождения пары, то есть можно утверждать, что любой частице соответствует античастица, имеющая ту же массу т, но противоположный электрический заряд: протону, например, соответствует антипротон с отрицательным зарядом. Принцип симметрии распространяется также и на частицы с нулевым зарядом: существует антинейтрон и антинейтрино. Совокупность античастиц составляет антивещество.

Эта гипотеза о существовании симметрии в мире очень важна; на ней основана физика частиц, существующая вот уже более полувека, она лежит в основе всех попыток теоретического синтеза, которые были предприняты в этой области, начиная со стандартной модели.

Стандартной моделью является теоретическое описание совокупности частиц, составляющих материю, и тех, что обеспечивают их взаимодействия.

Первые, являющиеся как бы «кирпичиками» материи, называются фермионами (в связи со статистикой Ферми—Дирака,

545

Роже Каратши

546

законом, описывающим их поведение). Эти фермионы подразделяются на два класса: 1) элементарные фермионы, которых всего двенадцать, а именно — шесть частиц тяжелых, кварки, и шесть частиц легких (пептоны): электрон, тау, мюон и три нейтрино, которые им соответствуют; 2) сложные фермионы, получающиеся из соединения элементарных фермионов, являющихся «тяжелыми» частицами (барионы, противостоящие леп-тонам): например, протон и нейтрон являются фермионами, состоящими из трех кварков.

Частицы, которые обеспечивают взаимодействие между фермионами, являющиеся как бы «цементом, скрепляющим «кирпичики» материи, ведут себя так, как это описано в статистике Бозе—Эйнштейна, их называют бозонами. Четырем основным взаимодействиям (электромагнитное взаимодействие; слабое взаимодействие между элементарными фермионами внутри сложного фермиона; сильное взаимодействие, удерживающее протоны и нейтроны внутри ядра; гравитационное взаимодействие) соответствуют особые виды бозонов: например, электромагнитным взаимодействием является испускание/поглощение фотонов между двумя фермионами.

Организация материи подчиняется тройной симметрии:

— все взаимодействия являются симметричными (например, в случае гравитационного взаимодействия Земля притягивает Луну, но Луна также притягивает Землю: они взаимодействуют);

— любой частице соответствует античастица, электрический заряд которой противоположен заряду ее антипода; совокупность этих античастиц образует антивещество, электрически симметричное материи;

— всем частицам стандартной модели (фермионам и бозонам) соответствует такое же количество «частиц-сестричек», называемых также суперсимметричными частицами (у них тот же электрический заряд, что и у частиц, чьими антиподами они являются, но они отличаются от них характеристикой спина).

Отметим также в плане эпистемологических размышлений следующее: тогда как физика Галилея и Коперника довольствовалась простой теорией, прямо вытекающей из арифметики (в

Логика и эпистемология

основном из теории пропорции), эволюция науки потребовала разработки теорий все более абстрактных и все более общих; Ньютону понадобилось исчисление бесконечно малых (которое он и изобрел для этой цели); Эйнштейну пришлось обратиться за помощью к неевклидовым теориям; квантовой физике—к теории групп и к теории матриц. Итак, мы наблюдаем все возрастающую абстракцию и все возрастающее обобщение законов физики, которые, как кажется, все меньше и меньше связаны с опытом. Однако это совсем не так, хотя как теоретический аппарат, так и экспериментальное оборудование безмерно усложнились. Галилей использовал в своих опытах маленькие тележки, которые катились по наклонной плоскости; Ньютон работал в плохо оборудованной лаборатории, обходясь подручными средствами; физики, изучавшие электричество, действовали так, как это делают и сейчас на публичных демонстрациях во Дворце открытий, а расчеты производили мелом на доске.

Опыты с частицами требуют сложных установок как для получения частиц и для того, чтобы заставить их вступить во взаимодействие (ускорители частиц), так и для того, чтобы наблюдать за ними (пузырьковая камера). Кроме протона, электрона, нейтрино и фотона, среднее время жизни которых приближается к бесконечности, и нейтрона (среднее время жизни 1,010 секунд), а также соответствующих античастиц, все частицы имеют среднее время жизни чрезвычайно короткое (несколько миллиардных доли секунды для мезонов, к примеру, и в 100 тысяч раз меньше для резонансов, которые являются состояниями возбуждения частиц): обнаружение явлений и работа с ними требуют использования очень мощных компьютеров. При таких условиях опыты, которыми проверяется теория, являются очень сложными, они требуют участия больших коллективов научно-технического персонала, для чего необходимо выделение значительных бюджетных средств, а также создание новых социальных и политических условий. Современный ученый — это не доктор Фауст, замкнувшийся в своем рабочем кабинете; социологический фон, на котором развивается наука, относится теперь к объектам, интересующим эпистемологию. Этот факт можно проиллюстрировать примером из истории науки, а именно открытием нейтрона. Коллективу французских уче-

547

Роже Каротини

ных не удалось сделать это открытие, хотя они были к нему очень близки, потому что понятие частицы с нулевым зарядом не укладывалось в рамки их представлений, а точнее — в рамки представлений влиятельной верхушки научных работников, тогда как коллектив английских ученых под руководством Чедви-ка не остановили эти интеллектуальные табу (нейтрон был открыт в 1932 г.).

<< | >>
Источник: Каратини Р. Введение в философию. — М.: Изд-во Эксмо, 2003. — 736 с. 2003

Еще по теме Порядок, беспорядок и симметрия:

  1. § 2. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
  2. 3. ДЕТЕРМИНИЗМ, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, СИММЕТРИЯ
  3. 12.3.3. Порядок определения размера причиненного работодателю ущерба и порядок взыскания ущерба с работника
  4. Порядок инспектирования организаций
  5. § 5. Порядок создания и государственной регистрации коммерческих организаций
  6. 8.2. Порядок рассмотрения земельных споров
  7. 5.1. Порядок получения аудиторских доказательств
  8. 9.2. Порядок рассмотрения трудовых споров
  9. 5. Порядок приймання закінчених будівництвом об'єктів в експлуатацію
  10. «Порядок». Что это такое?
  11. 22.3. Порядок эмиссии ценных бумаг в РФ
  12. 6.2. Организация и порядок разработки плана
  13. Порядок взыскания ущерба с работника
  14. 3.2. Порядок создания и ликвидации коммерческого банка
  15. Общий порядок рассмотрения трудовых споров
  16. § 3. Претензионный порядок урегулирования разногласий предпринимателей