Задать вопрос юристу

Некоторые классические эпистемологические / проблемы I

В эпистемологии математики господствуют три основные проблемы:

— Какова природа математических структур?

— Каким образом стали возможны математические науки?

— Как объяснить их адекватность действительному миру? Эти проблемы связаны между собой, и решение, которое

являлось бы ответом на все три вопроса сразу, найти очень трудно.

Если считать, например, что математические объекты взяты из опыта с помощью абстракции, то можно понять их адекватность действительному миру, но тогда приходится отказаться от строгости научных выводов математической науки, снизив ее до уровня экспериментальных наук. Если поставить во главу угла проблему вероятности, то придешь к формальным построениям, наподобие тех, какие делали Рассел и Уайтхед (или, что в итоге то же самое, будешь искать обоснование синтетических суждений a priori), и не ответишь на вопрос об адекватности.

Итак, начнем с первого вопроса. История математики начинается с реалистических утверждений Пифагора и Платона, которые, впрочем, граничат с мистическими: математические объекты являются идеальными, внеопытными, и при работе с ними их свойства сразу открываются разуму, без участия обычных чувств, т.е. математика является как бы «вторым зрением» человека; идеальное Число, идеальная окружность и т.п. существуют в мире сверхъестественного (который, впрочем, и является истинной сущностью всех вещей, поскольку «природа», воспринятая нашими чувствами, является всего лишь иллюзией, совокупностью теней на стене пещеры). Этот реализм сущностей, подробно объясненный Платоном в рамках теорий Идей, мы снова встречаем у Декарта (математические понятия — это «истинные и непреложные сущности»), у Спинозы и

Логика и эпистемология

\ у Гуссерля, а также у многих других математиков. Реализм сущ-\ ностей объясняет строгость научных выводов в математике априорной природой ее объекта, познаваемого исключительно разумом, независимо от опыта (даже если именно с опыта началось познание этих сущностей); реализм сущностей является обоснованием таких формальных и формализующих множеств, как совокупности, классы, ансамбли, главным образом, бесконечные, построенные для изучения содержания идеального мира математики, которая предстает теперь как наука, действующая гипотетико-дедуктивным методом, причем гипотезы являются идеями разума, а дедуктивная техника вывода является строго формализованной системой.

Существуют и прямо противоположные методы построения научных теорий: конструктивный метод и конвенционализм. Критика абстрактных теорий со стороны Беркли и Юма лежит в основе психологизма: математические понятия и логические законы являются лишь проекцией внутренних механизмов познавательного процесса, которые включают процесс построения теорий, которые называют арифметикой, геометрией и т.д. Богатство и великолепие этих теорий, сюрпризы, которые они нам готовят, объясняются тогда очень просто: реальный мир нам чужд, и любой объект, строящийся на основе этого не-Я, приводит к открытию и порождает смятение. Математик подобен Христофору Колумбу, которого воображение влечет к неведомым землям и который встречает, хотя их и не искал, простые числа, иррациональные числа, комплексные числа, неевклидовы геометрии, бесконечные величины и т.п.

Но в этих условиях математик не может больше чувствовать себя в безопасности: если в конечном счете все основано на опытах, как бы малочисленны они ни были, можно опасаться, что в них затесалась какая-нибудь ошибка. Конечно, можно утверждать, что опыт всегда сможет в случае необходимости показать нам чувственную достоверность отдаленных теоретических последствий, порожденных математическими теориями на основе фундаментальных экспериментов (рациональная интуиция целых чисел), но имеем ли мы право сказать, что это для всех последствий будет обязательно? Пример теории матриц является в этом отношении показательным: это абстрактное, отдаленное следствие, на первый взгляд далекое от всякого опробывания в реальной жизни, далекое от теории натуральных целых чисел;

499

Роже Каратини

понадобилось около восьмидесяти лет, чтобы связать эти математические объекты, «изобретенные» Кэли в 1843 г., с экспериментальной реальностью (с квантовой физикой). То же можно сказать и относительно мнимых величин: некое число / при7 возведении в квадрат равняется —1, т.е. Р =—1, и действия/с этим числом математики производят с XVI века, однако оно было введено в физику для выражения физических законов только в конце XIX века (в частности, для описания переменного тока). Существуют целые разделы математических построений, которые не подвергались проверке на соответствие описанию физической реальности: кто может нас убедить в их истинности, если отправной точкой является элементарное отражение действительности?

Конвенционализм (основоположником которого был французский математик Пуанкаре, 1854—1912 гг.) занимает нейтральную позицию между реализмом и психологизмом, утверждая, что математические понятия являются продуктами соглашения между учеными, которые дают определения по правилам аксиоматического метода построения научных теорий. Понятие параллельных прямых не существует само по себе, оно не является истинной и непреложной природой, оно не является также абстрактной идеей нашего чувственного опыта; это чисто условное определение, которое свидетельствует о творческой свободе человеческого духа. Ученые прекрасно могут договориться между собой о том, что через одну точку, взятую вне прямой, может пройти только одна-единственная линия, параллельная этой прямой, или что через эту точку может проходить несколько таких линий: выводы, которые мы сделаем на этой основе, будут достоверными, если мы не нарушим правил дедукции, т.е. законов формализованной системы математической логики. Тот факт, что мы не сможем начертить на классной доске графического изображения аксиомы о параллелях, за исключением того случая, когда можно провести только одну прямую, параллельную данной и не имеющую с ней общих точек (аксиома, которая раньше называлась постулатом Евклида), — этот факт не имеет значения (в любом случае — со времен Декарта — рассуждения ведутся с помощью уравнений, а не чертежей), суть в том, чтобы созданная теория была непротиворечивой.

500

Логика и эпистемология

* * *

Каким образом математика вообще возможна? Этот вопрос можно задать и в другой форме: каково происхождение математической абстракции и почему математические формулировки носят характер необходимости?

Необходимым, как говорили древние философы, является то, чего не может не быть. Предложение типа «Завтра состоится морское сражение» не является ни истинным, ни ложным; мы узнаем его достоверность лишь послезавтра, но тогда оно превратится во «Вчера состоялось (или не состоялось) морское сражение». Сражение могло как состояться, так и не состояться: это событие случайное, его можно констатировать лишь после того, как оно произошло, a posteriori. Напротив, все необходимое — всегда истинно, и все философы характеризуют его по его априорности. Чтобы быть возможной, математика должна формулировать априорные предложения типа «7 + 5 = 12»; эпистемология Венского кружка доказала, что такие формулировки являются аналитическими, а точнее, что они вытекают из аналитических предложений, следовательно, они априорны. Это утверждение противоречит утверждению Канта, который видел в них априорные синтетические суждения, обоснованные существованием априорных форм чувственности. На самом деле между ними нет полной противоположности, как это может показаться на первый взгляд. Витгенштейн и логики из Венского кружка пытались обосновать возможность математики, исходя из особенностей самой математики, без связи с субъектом, с человеком, который математикой занимается, тогда как Кант, скорее, ответил на вопрос: «Как можно быть математиком?»

Схема происхождения математических теорий может быть описана следующим образом:

1) все начинается с опыта (внутреннего и внешнего) множественности и с подбора пар почленно двух категорий объектов;

2) не имеет значения, что этот опыт противоречив или подразумевает будущие противоречия; его можно резюмировать в имени (номинализм), которое иногда называют понятием или идеей «число»;

3) термин «число» обозначает любой компонент совокупности, который получает символическое обозначение N, это совокупность целых чисел; чтобы разработать теорию целых чи

501

Роже Каратини

502

сел, мы должны перейти от слова к системе непротиворечивых, независимых и полных аксиом;

4) наша цель состоит не в том, чтобы пассивно созерцать совокупность И; поэтому мы разработаем формализованные законы проведения математических действий, опишем их свойства с помощью аксиом; это называется снабдить совокупность N структурой (строго определенной);

5) тогда мы сможем на основе простого пропозиционального расчета высказать теоремы, совокупность которых составляет теорию целых чисел, или арифметику;

6) следующий этап — это этап обобщения совокупности № вводя новые аксиомы, подсказанные не опытом, но невозможностью провести ряд операций внутри 14, мы постепенно определим комплекс Ъ относительных целых чисел (положительных и отрицательных), комплекс (2 рациональных чисел, комплекс реальных чисел (включающий в себя иррациональные числа), комплекс С комплексных чисел, комплекс матриц, комплекс сверхсложных чисел; так, начав с арифметики, можно создать другие математические теории: геометрию, алгебру, функциональный анализ, теорию вероятностей и т. д.;

7) все частные математические теории могут интерпретироваться с помощью абстрактной теории множеств, которая опирается на алгебру и топологию.

Таким образом, мы подходим к концепции единой математики, как ее понимала группа Никола Бурбаки (собирательный псевдоним группы французских математиков, выступивших в 1939 г. с идеей построить всю математику на аксиоматической основе). Рассмотрим три множества (или больше) Е, Б, (7; пока нам не следует интересоваться их природой, у нас к ним единственное требование — они должны быть обособлены. На этой основе можно строить новые множества:

" — принимая из множества частей (деление множеств — это перечисление всех подмножеств, которые оно содержит, в том числе пустое множество 0 и само множество; множество всех подмножеств Е называется множеством частей Е, или булевой функцией);

— находя произведение двух из этих множеств, взятых в определенном порядке: назовем х один компонент, Е и у — один элемент Е, множество всех пар (х, у), взятых в этом порядке, будет множеством произведений Е X Е,

Логика и эпистемология

— находя произведение одного из этих множеств, умноженное на самое себя: компоненты множества произведения Е х Е имеют форму (х, х).

Так мы получаем 12 новых множеств (например, ЕхЕ, ЕхЕ, Ех (г, С? х Еи т. д.), которые, вместе с тремя исходными множествами, дают 15 множеств. Можно начать производить снова те же самые действия с этими 15 множествами и так далее, столько раз, сколько пожелаешь. Тогда получим то, что называется лестницей множеств, в основании которой находятся Е, Б, О, число множеств М, И, Р, ... этой лестницы может быть сколь угодно большим.

Теперь рассмотрим элементы т1 и т2 множества М; придать себе эти два элемента — значит дать себе единственный элемент (ти т2) множества Мх М, которое является частью лестницы. Точно так же отношение 7? между элементами т, принадлежащими к М, и элементы п, принадлежащие к /У, которые мы обозначим тКп, определяет часть множества, произведения М х ТУ, которое принадлежит к лестнице: следовательно, придать себе такое отношение означает то же самое, что придать себе один элемент другого множества лестницы; и так далее и тому подобное: заданная величина определенного числа элементов множеств лестницы, отношений между элементами этих множеств и другие подобные действия означают в конечном итоге заданную величину одного-единственного элемента одного из множеств лестницы.

Затем рассмотрим множество М лестницы и определим, с помощью аксиом, некоторое количество свойств, характеризующих один элемент множества М; эти аксиомы могут подходить всем элементам М, но могут также подходить лишь к некоторым частям А, В, С, ... множества М. Назовем Г пересечение множеств, таких, как А, В, С, ... (которые являются подмножествами М) и пусть 5 будет элементом Т; говорят, что 5 определяет структуру вида Тв множествах Е, Б, С

Другими словами, структура вида Г характеризуется:

1) правилами формирования множества М на базе исходных множеств Е, ?, (7;

2) через аксиомы, определяющие Т.

Любое высказывание, выведенное из аксиом рассматриваемой структуры Т, является теоремой, принадлежащей к теории структур вида Т. Если пересечение Гявляется пустым множест

503

Роже Каротини

вом, то говорят, что структуры вида Г не существуют (или, что то же самое, что аксиомы структуры противоречат друг другу). Все структуры одного вида получают имя: все школьники встречали структуру приведенного множества, структуру группы, структуру основной части, и если они доходили до изучения высшей математики, то изучали структуры векторного пространства и алгебру Буля.

Эти замечания позволяют нам дать самое общее определение математики: математику можно рассматривать как теорию структур разного вида.

Это определение можно уточнить, чтобы включить в него основные математические теории, такие, как евклидова геометрия, теория реальных чисел, теория групп или топология. Для этого нужно вспомнить определение (дескриптивное) биективного наложения и, одновременно, вложения множества Е в множество F. Вложить одно множество в другое — это значит руководствоваться следующим правилом: каждому элементу первого множества поставить в соответствие один элемент, и только один, второго множества: что мы и делаем в жизни, когда рассаживаем множество гостей вокруг стола со множеством мест (это отображение множества Е гостей во множестве F мест). Множество Е, с которого мы начинаем, является исходным множеством (или областью определения), его элементы называются антецедентами; множество F является множеством достижения (или областью величин), его элементы являются образами антецедентов. Отображение тогда называется биективным, если любому образу соответствует один-единственный антецедент и если любому антецеденту соответствует один-единственный образ. Отображение, которое состоит в размещении гостей за столом по определенному правилу, может быть названо биективным или взаимно однозначным соответствием.

Возьмем теперь структуру s на основе Е, F, (7 и структуру s' на основе Е', F', G'. Если существуют биективные отображения Ена Е', /"на F' и G на G', которые позволяют перенести s на s', то структуры s и s~ называются изоморфными, а отображения, о которых идет речь, составляют изоморфизм s на s'. Особо стоит частный случай основания с одним множеством Е, которому соответствует другое множество Е': биективное отраже

504

Логика и эпистемология

ние Е на Е ', которое переносит s на s', является изоморфизмом множества Е, снабженного структурой s, на множество Е', снабженное структурой s~ с двумя совершенными лексическими системами, которые слово в слово соответствуют друг другу взаимно однозначно. Если лингвистические структуры изоморфны, то операция над словом е множества Е дает слово / множества Е, а операция над переводом е ' из е в Е' дает слово /' из Е', что является переводом / Приведем еще более точное сравнение: мы изучаем операцию «женский род такого-то слова» в лексике французского языка и в лексике латинского языка; эту операцию символизирует стрелка, направленная вниз. Тогда мы получаем:

Французский язык Латинский язык

maitre (хозяин), dominus

maitresse (хозяйка), domina

Чтобы ответить на вопрос: каков женский род латинского слова, обозначающего хозяин, можно, в силу изоморфизма обеих лексических систем, выбрать любой из двух способов:

1) взять женский род от слова «хозяин», что даст «хозяйка», и перевести его на латинский язык: получим «domina»;

2) перевести «хозяин» на латинский язык, получим «dominus», и взять от него женский род: снова получим «domina».

Когда структуры, проверяющие систему определенных аксиом, являются непременно изоморфными, то теория этих структур называется одновалентной; в противном случае теория называется мультивалентной. Определение, данное выше, можно, следовательно, уточнить (ср. Никола Бурбаки «Теория множеств»): математика — это одновалентные или мультива-лентные теории структур различного вида. В качестве примера одновалентных теорий можно привести теорию натуральных целых чисел (арифметика), теорию действительных чисел и евклидову геометрию — все они взяты из классической математики. Современная математика в основном интересуется муль-тивалентными теориями, такими, как теория групп, топология, теория упорядоченных множеств и т. п.

505

Роже Каратини * * *

Остается сказать несколько слов о соответствии математики экспериментальной действительности, которую можно понимать по-разному.

Научный эксперимент предполагает проведение измерений, а самые простые законы отражают постоянное соотношение между измеряемыми величинами; это относится и к третьему закону Кеплера (квадраты времен обращения планеты вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца), который можно записать в виде пропорции:

Т'2 а'3 '

Законов такого типа много в физике (формулы механики, электричества, калориметрии и т. д.); все они могут служить примерами индуктивной абстракции и состоят в том, чтобы заменить опытные данные утверждениями, относящимися к арифметике. Это не означает, что Вселенную можно выразить через теорию чисел; но измерение — это всего лишь особая манера счета, основанная на теории чисел. Более интересны законы ньютоновского типа, которые являются дедуктивными, а не индуктивными, как предыдущие. Чтобы вывести закон тяготения, Ньютон занимался исчислением бесконечно малых, то есть работал с величинами, стремящимися к нулю (дифференциальное исчисление), и, начав с системы аксиом, не противоречащих опыту (основные законы механики), он вывел на этом основании закон тяготения со всеми следствиями. Проблема адекватности математики действительному миру не являете^ таинственной на ньютоновском этапе развития: основы взять| из практики (в этом смысл выражения, приписываемого Нъщ тону: «Hypotheses non fingo» — «Я не выдвигаю гипотез»), нс{ пользуемая теория (дифференциальное и интегральное исчис^ ления) не получена опытным путем, но подходит для обработ^ ки опытных данных, в чем можно удостовериться, проверяв результаты (если бы она не подошла, пришлось бы разрабаты^ вать другую теорию). То же касается и Максвелла, который шел по тому же пути: опыт — математическая теория — результаты! проверяемые опытом. Роль математики состоит не в том, чтобЯ

506

Логика и эпистемология

отражать действительный мир, но в том, чтобы помочь обработать экспериментальные данные, подобно тому как роль машины для классификации карточек состоит не в том, чтобы производить новые карточки, а в том, чтобы привести в порядок существующие.

Тайна физико-математической адекватности родилась вместе с трудами голландского физика Лоренца (1853—1928), когда он разработал, в конце XIX в., классическую электронную теорию, с помощью которой объяснил многие электрические и оптические явления. Электрон был открыт в 1895 г. и назван стабильной отрицательно заряженной элементарной частицей. Для разработки электронной теории Лоренц воспользовался законами Максвелла, которые описывают все известные электромагнитные явления через систему уравнений, полученных в результате обобщения обнаруженных на основе опыта законов электрических и магнитных явлений; причем некоторые величины считались слишком малыми для масштаба макроскопических экспериментов. Распространение выводов, полученных из наблюдения над одной частью явления на другую часть его, происходило следующим образом: уравнения Максвелла отражают экспериментальные результаты; допустим (чистая гипотеза...), что материя — это некое поле, напичканное электронами, и допустим (вторая гипотеза, снова бездоказательная), что можно перейти от уравнений Максвелла к уравнениям электронной теории, вернувшись к бесконечно малым величинам, которыми пренебрег Максвелл: при таких допущениях, после создания очень изящной математической системы, Лоренц получил фундаментальные уравнения классической электродинамики, определяющие микроскопические электрические и магнитные поля, создаваемые отдельными заряженными частицами. Конечно, последнее слово — за опытом: чтобы оценить истинность теории, необходимо придумать или случайно наткнуться на условия, позволяющие проверить выводы из уравнений Лоренца, что и было сделано во время наблюдений за триплетом натрия (электронная теория материи предполагала, что световое излучение, испускаемое раскаленным источником, которое в нормальных условиях, в отсутствие магнитного поля, является монохроматическим, в магнитном поле должно было состоять из трех спектральных линий, причем одна линия

507

Роже Каротини

должна иметь ту же длину волны, что и естественная спектральная линия, а две другие должны иметь длину, несколько отличную от нее, и должны быть ей симметричны: Зееман действительно наблюдал этот триплет, т. е. расщепление спектральных линий в магнитном поле в 1896 г.). Теория Лоренца получила и другие блестящие подтверждения — процессы испускания и поглощения радиации, поворот плоскости поляризации света под воздействием магнитного поля, явления магнитооптики как таковой, явления теплопроводности и электропроводности металлов и т. д. Итак, установление соответствия математизированного знания действительному миру изменилось после открытий Лоренца, и это делается особенно понятным при изучении современной физики. Речь идет уже не о том, чтобы апостериори отражать квантитативные эксперименты с помощью более или менее изощренной математической теории, а о том, чтобы до всякого эксперимента построить физико-математическую теорию, позволяющую предвидеть новые события, никогда прежде не наблюдавшиеся, причем принимающую в расчет всю совокупность уже известных физических реалий. Сегодня один из важнейших вопросов философии звучит так: почему абстрактная теория, разработанная от начала до конца человеческим разумом (кроме аксиом теории чисел), абсолютно соответствует реальным явлениям? Этот вопрос возвращает нас к старой онтологической проблеме субстанции и отношения мышления к бытию, сознания к материи. Здесь возможны три решения: дуализм Декарта, монизм Спинозы и теория предустановленной гармонии Лейбница. Но все же добавим: не все так идиллично в физико-математическом отображении опыта. В истории остались только те теории, которые имели удачное завершение, однако результаты всегда были ус-?} пешны лишь частично (например, наряду с так называемы^ нормальным эффектом Зеемана, существует другой, встречаю^] щийся гораздо чаще, не объясненный теорией Лоренца, назы-й ваемый анормальным эффектом Зеемана); не всегда возможно] добиться удовлетворительного экспериментального подтверт] ждения какой-либо теории (скажем, проблемы, поднятые об»; щей теорией относительности) и т. д. Именно это мы и рас* смотрим, размышляя над фундаментальными понятиями со< временной физики.

<< | >>
Источник: Каратини Р. Введение в философию. — М.: Изд-во Эксмо, 2003. — 736 с. 2003

Еще по теме Некоторые классические эпистемологические / проблемы I:

  1. 3. Эпистемологические критерии
  2. 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭПИСТЕМОЛОГИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ
  3. Дефекты классической модели
  4. КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ
  5. КЛАССИЧЕСКАЯ ЖИВОПИСЬ
  6. Классическое определение Рк
  7. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
  8. Формализация классической модели и ее графическое изображение
  9. 4. Классическая социология начала XX в
  10. X. 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПЕРИОДА КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ
  11. Классический спиритуализм
  12. КЛАССИЧЕСКАЯ ДРАМА
  13. КЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРИОД
  14. Классические трудности ценовой политики
  15. КЛАССИЧЕСКОЕ ВОЗРОЖДЕНИЕ И АРИСТОКРАТИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ
  16. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ, ЗАНЯТОСТИ И ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО КАПИТАЛА
  17. Тема 7. Классические, неоклассические и современные теории международной торговли
  18. Административная («классическая») школа в управлении (1920—1950).