Задать вопрос юристу

Многозначные логики

Пропозиционное исчисление, о котором уже говорилось, предполагает, что существуют только две величины истинности утверждения — 1 и 0, а третьей быть не может (принцип третьего исключенного). Ничто не запрещает построить трехзначную логику, которая отрицает принцип третьего исключенного и вводит рядом с истиной и ошибкой величину «ни истина, ни ошибка», обозначая ее дробью 1/2.

Жизненный опыт нам подсказывает, что существуют высказывания, которые являются и не истинными, и не ложными. Например, когда я говорю: «Президент США является демократом» — и задаю себе вопрос об истинности этого утверждения, то возможны две позиции: 1) твердо заявить, что вопрос нельзя так ставить, так как субъект этого высказывания не существует, поэтому нельзя с уверенностью сказать, относится ли к нему или нет предикат «является демократом»; 2) уверенно придать, по существу, величину 1/2 обсуждаемому утверждению. Первая позиция относится к классической двузначной логике, вторая — к трехзначной логике, теорию которой разработали голландские ученые Л.Э.Я. Брауэр (1881-1966) и А. Гейтинг (родился в 1898 г.). В подобной логике истинностные таблицы отличаются от тех, которые мы представили ранее. Так, таблица для логической операции «отрицание» выглядит следующим образом:

Логика и эпистемология р Р 1 0 1/2 1/2 0 1 Для каждой двузначной операции (совершаемой относительно двух высказываний р и д) нужно установить матрицу, состоящую из трех линий и трех столбцов: 1 1/2 0 1 1 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 0 0 0 0 Конъюнкция: (р л а) 1 1/2 0 1 1 1 1 1/2 1 1/2 1/2 0 1 1/2 0 Дизъюнкция: (р V д) 1 1/2 0 1 1 1/2 0 1/2 1 1 1/2 0 1 1 1 Импликация: (р э а) 1 1/2 0 1 1 1/2 0 1/2 1/2 1 1/2 0 0 1/2 1 Эквиваленция: (р = д)

467

Роже Каратини

Можно обобщить эту трактовку значений истинности и разработать логики п значений (многозначные логики). Истинностные матрицы становятся при этом п л-значными. Значения для одного высказывания будут представлены в виде серии:

Логика классов и пропозициональное исчисление

Пропозициональное исчисление, представленное ранее, является средством получения из одного высказывания другого и установления его истинности с помощью истинностных таблиц. Но есть иной способ образовать высказывание: действовать как в аристотелевской логике, начиная с терминов, представляющих классы субъектов, и соединяя их с помощью связки «есть», «является» (предикат). Высказывание тогда будет утверждением или отрицанием в отношении предиката. Аристотелевская логика — это частный случай логики классов, в которой можно совершить исчисление классов (или исчисление предикатов) так же формально, как и исчисление высказываний.

Рассмотрим следующее высказывание:

«3 есть простое число».

Оно состоит из субъекта («3») и предиката («простое число»), соединенных связкой «есть». Предикат описывает некоторое свойство субъекта. Условимся, что субъект мы запишем с помощью букв х, у, г, ¦¦. Назовем переменной величиной, или логическим аргументом, один из этих символов и логической функцией всякое высказывание, в котором, по крайней мере, один из элементов является переменной величиной. Самой простой из всех логических функций является, безусловно, выражение переменной величины:

X.

Более развитой логической функцией будет следующее высказывание:

х обладает свойством /, которое запишем в форме:

468

Ах).

Логика и эпистемология

469

Выражение Дх) — это пропозициональная функция. Если мы заменим х и/терминами, то получим определенное высказывание. К примеру, приняв, что

х = 3, /= есть простое число,

получим лучше сформулированное высказывание. Нужно хорошо понимать, что любая пропозициональная функция — это не символическое высказывание, а форма, позволяющая порождать бесконечное множество высказываний (истинных или ложных). Все определения переменной величины х, проверяемой f(x), составляют некое множество, называемое классом. Функция f(x) содержит одну переменную величину, поэтому можно говорить об однозначности. Функция с двумя аргументами называется, соответственно, двузначной, с тремя переменными — трехзначной и т.д.

Замечание: нельзя смешивать функцию и пропозициональную переменную величину. Пропозициональная функция определяет класс (например, класс простых чисел); пропозициональная переменная — это такое высказывание (р, q, г, ...), по которому вычисляют возможность сформировать новые высказывания. В пропозициональном исчислении переменные величины (аргументы) являются высказываниями, а в исчислении классов они суть термины.

* * *

В логике классов, как и в других, используются как часть логической структуры простого суждения специальные символы, называемые кванторами. Кванторы — это символы V, 3, которые указывают на то, относится ли признак, выраженный в предикате суждения, ко всему объему понятия или лишь к его части. Квантор находится перед субъектом и обозначается словами «все», «некоторые», «ни один» и др. В основном различают два вида кванторов: общности, который обозначается символом V, и существования, которому соответствует символ 3. В некоторых суждениях квантор может отсутствовать.

Мы не будем описывать здесь системы аксиом, так как в нашу задачу не входит создание учебника по логике. Мы лишь даем представление о том, что такое символическая логика.

Роже Каротини

Заключение

Символическая логика стала чрезвычайно специализированной наукой, особенно благодаря трудам Польской школы логиков и математиков (занимающихся проблемой множеств), которые после Кантора искали решение проблемы парадоксальных множеств. Эпистемологические проблемы, которые поднимает логика, нашли свое отражение в логицизме Рассела, формализме Гилберта, интуитивизме, логическом позитивизме Венского кружка.

<< | >>
Источник: Каратини Р. Введение в философию. — М.: Изд-во Эксмо, 2003. — 736 с. 2003

Еще по теме Многозначные логики:

  1. ЛОГИКА
  2. ЛОГИКА
  3. Логика
  4. Логика '
  5. ЭТИК ИЛИ ЛОГИК
  6. РОБЕСПЬЕР (логико-интуитивный интроверт)
  7. I. Логика
  8. Законы логики и мышление
  9. ДЖЕК (логико-интуитивный экстраверт)
  10. 1.2. Логика и методология научных исследований
  11. ШТИРЛИЦ (логико-сенсорный экстраверт)
  12. ЛОГИКА СИГНИФИКАЦИИ И «РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПРОГРАММА»
  13. Логика трансформаций жилищного раздатка