Задать вопрос юристу

Логицизм

Логицизмом называют учение, изложенное Б. Расселом и А.Н. Уайтхедом в книге «Principia mathematica» (1910—1913), которая в значительной степени определила дальнейшее развитие математической логики.

Логицизм — это ответ на вопросы, поднятые кризисом математики в XIX веке.

К 1830 году математика состояла из двух теорий: геометрии, которая основывалась на «аксиомах» Евклида, и арифметики, которая базировалась на понятии числа. И та, и другая науки возникли как экспериментальные; в античности им предшествовали землемерие и счетоводство. Шумерские и вавилонские математики первыми в истории заинтересовались числовой комбинаторикой вне ее практического приложения. Они разработали первую теорию чисел (элементарную) и первые алгебраические методы. Греческие геометры, от Пифагора до Про-кла, разработали геометрию (плоскостную и пространственную), которую согласно аксиоматическому методу называют евклидовой. В «Элементах» Евклид сформулировал некоторое число аксиом в форме определений или фундаментальных правил, из которых чисто логическим путем вывел целый ряд геометрических теорем. В эпоху Возрождения дальнейшая разработка символизма позволила алгебраическому исчислению и теории уравнений достичь значительного прогресса. Ферма и Декарт показали, каким образом геометрия может быть переведена на алгебраический язык (аналитическая геометрия). После открытий Лейбница и Ньютона относительно исчисления

470

Логика и эпистемология

бесконечно малых величин математики XVIII века создали теорию функций, затем анализ. В дальнейшем ученые открывали новые концепции, разрабатывая новые направления в науке, и никогда не ставили под сомнение надежность и логическую строгость математики. К тому же никому не приходила в голову мысль подвергать критике истинную ценность основ математических теорий: законы евклидовой геометрии могли быть в любой день проверены землемерами или артиллеристами, которые изучали особенности баллистических кривых. Использование элементарной алгебры и математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления, теория функций) позволяло делать столь важные предсказания, в частности в области небесной механики, что никто не думал, не осмеливался подумать, что математический инструментарий может иметь погрешности, если не считать нескольких мыслителей (более требовательных, чем их современники), чья критика осталась не замеченной в то время: норвежец Нильс Абель (1802—1829), французы Эварист Галуа (1811—1832) и Огюстен Коши (1789— 1857), чех Бернард Больцано (1781—1848).

Первый удар по величественному и незыблемому зданию математики нанес русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856). Это произошло в 1829 году, когда он опубликовал статью в «Курьере Казани». Выход его статьи в 1834 году в немецком математическом журнале можно сравнить со взрывом бомбы. Автор показал, что можно построить геометрию, в которой постулат Евклида о параллельных («Через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну линию, параллельную этой прямой») заменяется неожиданным утверждением: «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное число параллельных этой прямой линий». Так родилась неевклидова геометрия и было покончено со слепым доверием к классической геометрии.

Это крушение геометрии в один миг потрясло научное сообщество, но осталось конфиденциальным: продолжалось преподавание евклидовских катехизисов в колледжах, не претерпело изменений землемерие, а математики утешились анализом. Но возникшие проблемы были еще достаточно серьезными:

1) евклидова геометрия, являвшаяся очевидным фундаментом логики, пошатнулась.

А что можно сказать в этом случае об

471

Роже Каратини

арифметике, для которой никакое аксиоматическое построение, даже элементарное, не было опробовано?

2) анализ вызывал множество сложностей, когда речь заходила о бесконечности, непрерывности функции, расходящихся рядах (о которых в 1826 г. заявил Абель), о различных сложных функциях и т.д.;

3) как объяснить обобщение понятия числа, целого действительно рационального числа, затем действительно иррационального и сложного? Создание логических уравнений У. Гамильтона (1805—1895) и матричного исчисления Кейли (1821— 1895) привело к исчислению, в котором произведение двух чисел не является однозначным (аЬ Ьа). Что сказать об этой новой алгебре?

Для решения всех проблем, которые угрожали зданию математики, потребовалась строжайшая ревизия: она была проведена математиками и логиками, которых мы уже упоминали (Г. Фреге, Дж. Пеано и др.), и особенно Г.Кантором (1845— 1918), создателем теории множеств. К 1870—1890 годам эта ревизия дошла до той идеи, что основной целью математики было изучение отношений между абстрактными величинами с помощью аксиом и без необходимой связи с некой экспериментальной реальностью. Завершение этого первого кризиса в математике было отмечено созданием теории множеств.

* * *

Логицизм Рассела — это ответ на вопросы, оставленные без ответа Дж. Пеано, относительно аксиоматизации арифметики. Все арифметические теоремы могут быть постепенно установлены, если принять пять аксиом, сформулированных Дж. Пеано в 1889 году:

1) «0» является числом,

2) за всяким целым числом следует целое число;

3) два числа не могут иметь за собой одно и то же число;

4) «0» не следует ни за каким числом;

5) любое свойство, которое принадлежит «0», а следовательно, и последующему за числом, которое им обладает, принадлежит всем числам (аксиома возврата).

Эти аксиомы не отличают ряд натуральных чисел от других прогрессий. Рассел смог заполнить этот пробел, сделав ариф

472

Логика и эпистемология

метику производной от формальной логики (в частности, от пропозиционального исчисления). Он также попытался разобраться в парадоксальных множествах с помощью теории типов, в которой благодаря специальной иерархии логических понятий удавалось устранить парадокс в системе Фреге и другие парадоксы.

В наше время логицизм и теория типов несколько забыты. К тому же Гёдель, рассмотрев системы типа Principia Mathe-matica, пришел к выводу, что все системы аксиоматической арифметики и теории множеств существенно неполны (их средствами нельзя доказать формулируемые в них утверждения). А Пуанкаре язвительно заметил, что теория типов позволяет сказать, что арифметика — это гигантский поворот мысли для того, чтобы твердо заявить: А есть А.

<< | >>
Источник: Каратини Р. Введение в философию. — М.: Изд-во Эксмо, 2003. — 736 с. 2003

Еще по теме Логицизм:

  1. 4. ЛОГИЦИЗМ, ФОРМАЛИЗМ, ИНТУИЦИОНИЗМ И ПОЗИТИВИЗМ
  2. Интуиционизм
  3. 5.4. Стоимость воспроизводства и плата за природные ресурсы
  4. 5.3. Сравнительная экономическая оценка природных ресурсов
  5. 5.2. Абсолютная и экономическая оценки
  6. 5. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ
  7. 5.1. Содержание экономической оценки
  8. 4.3. Основные направления научно-технического прогресса и их влияние на охрану окружающей среды и рациональное природопользование
  9. 4.2. Оценка ущерба от загрязнения окружающей среды
  10. 4. ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЕ И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОГРЕСС