Задать вопрос юристу

Исторический экскурс

Не собираясь вспоминать всю историю математики, напомним лишь процесс ее эволюции. Первыми математическими теориями, разработанными человеческим разумом, были планиметрия и арифметика; им предшествовала длительная экспериментальная фаза, с которой не следует путать науку: землемеры и счетоводы просто накапливали методы, применяли ловкие приемы для решения ежедневных практических задач и не создавали никаких абстрактных теорий, даже самых элементарных.

Практическим путем они выработали понятия (в обычном смысле слова), отражавшие их перцептивный опыт и их соображения. Это относится, например, к понятию целое натуральное число, о котором столько писали (Кронекер сказал: «Бог сотворил целые числа, человек сделал остальное»). Смутное восприятие количества (один и несколько) возникает у ребенка раньше, чем восприятие дискретного числа (пять пальцев, три камня и т.д.). Затем, с помощью воспитателей, ребенок соединяет знак «1» с набором, содержащим один объект, знак «2» с набором, содержащим на один объект больше, чем предыдущий, и так далее: он учится считать и подбирать парами объекты из двух наборов (стулья и куклы или числа и наборы предметов). На этом этапе ему не нужна теория чисел; достаточно немного воображения и памяти. Точно так же в самых древних человеческих обществах, где речь идет о том, чтобы пересчитать животных в стаде или стрелы воина, для арифметики нет места.

Все изменилось, когда зародилась городская цивилизация,' толчок которой был дан в эпоху неолита революционным переходом от присваивающего хозяйства к производящему, что произошло ранее всего в нижнем течении Тигра и Евфрата и в долине Нила. Великие древние царства на Ближнем Востоке

Логика и эпистемология

495

сложились под твердой властью вождей, о которых мы ничего не знаем, даже их имен; они обращались со своими подданными, как с баранами: их надо было пересчитать, как и свои богатства, и своих пленников и т.п., и записать все это — все эти цифровые данные. И поскольку количество подданных великого царя или мешков с зерном в процветающем царстве было больше, чем пальцев на руках, то сама жизнь заставила изобретать систему счисления, а для этого пришлось поразмышлять над понятием числа и открыть, вернее сказать, нащупать некоторые его свойства. Так родилась арифметика у шумеров, в Аккаде (северной части южной Месопотамии), в Вавилонии, и случилось это пять или шесть тысяч лет тому назад. Конечно, эта арифметика ограничивалась методом записи чисел с помощью только двух графических обозначений (один знак обозначал единицу, а другой — набор из десяти единиц) и довольно внушительной таблицы арифметических действий (сложение, умножение и т.д.).

Эти знания сохранялись без изменения в течение двух или трех тысячелетий; не исключено, что они были переданы грекам, в частности тем пифагорейцам, которые изображали числа множеством точек и которых зачаровывали их свойства (делимость, а также представление о числе как основе всего существующего и т.д.). Числа открылись греческим математикам, словно тропинки исследователю в джунглях неизвестного: сажая «лес чисел», как писал поэт Верхарн, человек не мог предположить, что он будет таким густым, таким переплетенным, столь сложно устроенным.

С тех пор происходит переворот, характерный для перехода от прагматизма к эпистемологии: речь идет теперь не о том, чтобы знать для того, чтобы уметь, а о том, чтобы знать ради радости познания (а умения — это дополнительная награда). Вот тогда-то, и только тогда, в истории математики и возникает теория чисел. Становление этой теории весьма показательно.

1. Теория целых чисел изложена Евклидом в виде абстрактной теории (III век до н.э.) в книгах VII, VIII и IX его «Начал»; он определяет число как «собрание единиц» и подразумевает аксиомы с основными действиями с целыми числами (сложение, умножение); он строго доказывает 107 теорем, которые в совокупности с теми, что будут открыты в дальнейшем, и рас

Роже Каратини

496

положенные в надлежащем порядке образуют классическую/ теорию чисел.

2. Еще до того, как получило известность произведение Евклида, разразился первый скандал среди логиков Западной Европы: пифагорейцы и их ближайшие последователи доказали, что существуют иррациональные числа, которые нельзя рассматривать как множество единиц, какими бы маленькими они ни были (л/2, л/3, ...); теория этих чисел получила удовлетворительное обоснование только в XIX веке, в работах Кантора и Дедекинда (до тех пор люди довольствовались тем, что находили некоторые приближения к заданному иррациональному числу).

3. Лишь в IV веке нашей эры дробь (число, известное Евклиду, но не рассмотренное им) приобретает права гражданства в математике: Диофант Александрийский — первый среди ученых Запада создатель алгебры — допускал (без доказательства), что дроби можно считать составленными из целого числа долей единицы и обращаться с ними, как с целыми числами, используя некоторые специальные методы счета (пресловутые «действия с дробями», предмет особой ненависти учеников начальной школы).

4. После Диофанта, после трудов арабских алгебраистов (ал-Хорезми в IX веке), после открытий алгебраистов эпохи Возрождения появились отрицательные числа; здесь тоже никто не задавал никаких логических вопросов относительно их идентификации в качестве чисел или относительно возможности действий с ними («правило знаков», необходимое для действий с этими числами).

5. В XV веке итальянский математик Бомбелли вводит мнимые числа, которые, после работ Гаусса, с 1797 года называют комплексными.

6. В 1843 г. Кэли создает понятие матрицы (матрица — это -прямоугольная таблица каких-либо элементов х-чисел, математических выражений, состоящая из т строк и п столбцов) и устанавливает правила действий над матрицами; десять лет спустя У.Р. Гамильтон предлагает обращаться с матрицами как с числами, поскольку они являются их дальнейшим обобщением.

Итак, эта теория развивалась скачкообразно. Довольно любопытно заметить, что примерно до 30-х годов XIX века математики производили действия с дробями, относительными.

Логика и эпистемология

497

числами (положительными и отрицательными), иррациональными числами и даже с комплексными числами, исходя из правил действий с целыми числами, и нимало не удивлялись тому, что получают правильные ответы. Они не понимали, что целые числа, относительные, дробные и иррациональные, составляют однородную совокупность, и поэтому не вывели аксиомы, которые позволили бы сделать такое обобщение. Такое поверхностное и наивное отношение к числам позволяло избежать теоретических трудностей, которые возникнут в XIX веке, в частности, в связи с теорией функции, и которые заставят О.Л. Коши построить теорию чисел, обобщающую и укрепляющую теорию Евклида о целых числах.

Еще один пример эволюции — создание нескольких теорий, относящихся к геометрии. Первой серьезной теорией была теория все того же Евклида: говоря современным языком, его теория аксиоматична (в каждой книге Евклид начинает с определений и аксиом, которые он «просит» — postulat по-ла-тыни — согласовать, и он выводит из них теоремы геометрии на плоскости и геометрии трехмерного пространства). Декарт и его последователи перевели евклидову геометрию на язык алгебры, значительно обобщив ее (аналитическая геометрия); в конце XVIII века родилась геометрия бесконечно малых, которая использует результаты исчисления бесконечно малых, чтобы решить, в частности, задачи кривизны, касательных, нормалей и т.д.; в XIX веке развивается проективная геометрия (Понселе и Штейнер), которая заставляет в конечном счете рассматривать геометрию вообще как абстрактную комбинаторику (алгебраическая геометрия), обобщающую понятие пространства, и разрабатываются неевклидовы геометрии. Подобно Кантору, который объединил различные аспекты теории чисел, создав теорию множеств, Феликс Клейн (1849—1925) объединил различные геометрические теории в «Эрлангенской программе», основываясь на теории групп, понятие о которых ввел Эварист Галуа (1811—1832).

Подобные замечания можно сделать и относительно других разделов математики. Анализ, алгебра, топология, теория вероятностей развивались без всякого плана, в том ритме, в каком шли открытия и озарения, без опоры на логические и аксиоматические приемы. Поэтому в первой половине XIX века возни

Роже Каратини

498

кали всякого рода трудности, что вызвало кризисы, о которых уже упоминалось и которые были преодолены на пути формализации изучаемого объекта и разработки аксиоматической теории. J

<< | >>
Источник: Каратини Р. Введение в философию. — М.: Изд-во Эксмо, 2003. — 736 с. 2003

Еще по теме Исторический экскурс:

  1. Принудительные миграции до Гитлера и Сталина: исторический экскурс 
  2. «Восточный экскурс»
  3. § 1. Краткий экскурс в классическцш социологии
  4. Раздел 9. Место XX в. во всемирно-историческом процессе. Новый уровень исторического синтеза. Глобальная история.
  5. Экскурс V К ВОПРОСУ ОБ ИМЕНИ И ИСТОРИИ ФЕМЫ «ОПСИКИЙ»
  6. ДОПОЛНЕНИЯ ЭКСКУРС К КРИТИКЕ СВЕДЕНИЙ О ВОССТАНИИ БАХРАМА-ЧОБИНА
  7. Экскурс. План и постановка цели с гносеологической и методологической точек зрения
  8. Экскурс I К ВОПРОСУ О ДАТЕ ВОЗВРАЩЕНИЯ КРЕСТА ГОСПОДНЯ В ИЕРУСАЛИМ ИЗ ПЕРСИДСКОГО ПЛЕНА
  9. 2.1. Что такое историческое сознание?
  10. Историческая жанровая генерализация
  11. в)              Общественный и исторический прогноз
  12. § 74. Историческое развитие
  13. Этапы исторического процесса
  14. ИСТОРИЧЕСКИЙ ФОН