Задать вопрос юристу
 <<
>>

Формализм

Формализм Д. Гильберта был разработан в 1918—1930 гг. Данная теория была также названа метаматематикой, или теорией доказательств. Она стала следствием работ этого ученого по аксиоматизации геометрии, которые он проводил с 1894 по 1904 год.

Основная идея формализма Гильберта такова: нельзя основать арифметику на единственной логике, как хотели Б. Рассел и А. Уайтхед, поскольку некоторые арифметические экстралогические понятия (понятие множества или количественного числительного) являются необходимыми для изложения самих логических законов (необходимо считать их экстралогическими, потому что, если они будут элементами логики, арифметика превращается в порочный круг).

Математическая теория, например, арифметика или абстрактная теория множеств, содержит термины (понятия) и отношения, представленные знаками или последовательностями знаков, так что правила позволяют говорить, что некоторые наборы знаков являются понятиями, отношениями или теоремами рассматриваемой теории. Последовательности знаков (формулы) приобретают смысл лишь при конкретной интерпретации. С целью вывода теорем из аксиом формулируют правила вывода. Некоторая последовательность формул, в которой каждая формула либо представляет собой аксиому, либо по опреде

473

Роже Каротини

ленному правилу вывода получается из предыдущих формул последовательности, и есть доказательство в исчислении (формальной системе). Основными требованиями, которые предъявляются к таким аксиоматическим формальным системам, являются непротиворечивость, полнота и независимость аксиом.

Термин «непротиворечивость» используется применительно к совокупности каких-либо аксиом или ко всей теории, базирующейся на этих аксиомах. Непротиворечивость означает наличие в рассматриваемой системе хотя бы одного недоказуемого высказывания (или формулы). Полнота аксиоматической теории означает достаточность ее средств для определенных целей. В узком смысле термин «полнота» определяется как невозможность присоединить к системе без противоречия какую-либо недоказуемую в ней формулу в качестве аксиомы.

Относительно проблем непротиворечивости (совместимости) и полноты американец чешского происхождения Курт Гёдель (1906—1978) сформулировал в 1931 году две теоремы, которые, казалось, положили конец попыткам формализации. Он установил: 1) что арифметика не может создать обладающую полнотой систему, так как непротиворечивость арифметики составляет в этой системе величину нерешаемую; 2) что невозможно математически доказать непротиворечивость всей теории, вмещающей арифметику.

* * *

Проблема решения является фундаментальной в логике. Она уже была затронута Аристотелем, когда он ввел метод для решения, является ли некий силлогизм истинным или ложным. Вообще, в символической логике описание некой формальной системы позволяет ответить на следующие вопросы:

Высказывание А является аксиомой? Высказывание А является теоремой?

Это описание, следовательно, является процедурой решения: если А аксиома, то она является составной частью окончательного списка аксиом данной теории и ее можно немедленно узнать; если А теорема, то ее можно последовательно доказывать, восходя к аксиомам этой теории. Но это описание не дает ответа на вопрос: «Формула А доказуема?» Следовательно,

474

Логика и эпистемология

нужно найти метод, чтобы показать доказуемость определенного высказывания: это и есть то, что в формальной системе называется проблемой решения. Эта проблема одновременно законна (обладает полнотой в формальном описании) и практична: история математики дает многочисленные примеры высказываний, которые все еще не доказаны и о которых нельзя достоверно сказать, доказуемы они или нет. Это, к примеру, случай с знаменитым уравнением Ферма (1637), который утверждал, что не существует тройки целых чисел (х, у, г), проверяющих уравнение

х" + у" =

когда п больше, чем 2. В течение 250 лет математики ищут решение этого уравнения, но они дошли только до того умозаключения, что для некоторых классов величин и доказательность все еще не найдена.

Научные исследования современных логиков и математиков способствовали прогрессу в изучении проблемы решения (труды А. Чёрча, А. Тьюринга, А. Тарского, П.С. Новикова): речь идет об определении основного метода, устанавливающего с помощью конечного числа операций, истинно или ложно определенное отношение. Гильберт утверждал, что о любом математическом суждении однажды можно будет сказать, истинно ли оно, ложно или недоказуемо. Существует другой способ выйти из тупика или, по крайней мере, попытаться из него выйти — это интуиционизм.

<< | >>
Источник: Каратини Р. Введение в философию. — М.: Изд-во Эксмо, 2003. — 736 с. 2003 {original}

Еще по теме Формализм:

  1. 6. Формализм и историзм
  2. 4. ЛОГИЦИЗМ, ФОРМАЛИЗМ, ИНТУИЦИОНИЗМ И ПОЗИТИВИЗМ
  3. Бессилие одиночки. Формализм на Бали
  4. § 242. Консенсуальные контракты
  5. § 203. Б) Acceptilatio
  6. Дискуссия. Бюрократия: «за» и «против»
  7. 3.3.2. Классификация и характеристика концепций обучения
  8. СЛОВАРЬ-СПРАВОЧНИК
  9. § 9. Неосновательное обогащение, не образующее кондикции (не подлежащее возврату) (п. 2501-2504)
  10. Обязательственное право
  11. Когда задача мотивации персонала становится приоритетной?
  12. § 77. II. Процесс «per formulas» («по формуле»)
  13. Система единой науки
  14. Н.Д. Тамарченко ПОВЕСТВОВАНИЕ
  15. 5. Зиммель и современная ему социология
  16. 4.2. Формулярный судебный процесс