Задать вопрос юристу

Прогнозирование опасных ситуаций и событий методом математического моделирования

  Оценка рисков, обусловленных опасностями, анализ эффективности мер противодействия им требует применения соответствующего вероятностного математического аппарата [7 - 8]. Не ставя целью детальное рассмотрение применимых для этого методов математического решения таких проблем, изложим основы наиболее подходящего из них - метода марковских случайных процессов.
Этот метод базируется на идеях, изложенных в разд. 1.5, представляет дальнейшее их развитие и является удобным инструментом количественного анализа проблем БЖД.
С позиций теории марковских случайных процессов, для вычисления числовых показателей вредоносности опасностей и для оценки эффективности мер защиты от них строится некоторая абстрактная схема взаимодействия объекта поражения, источника

опасности, средств противодействия опасностям и т.д. Далее поведение этой схемы описывается математическими соотношениями, исследование которых позволяет решать многочисленные практически важные проблемы, в том числе и проблемы прогнозирования опасных случаев и их последствий.
Проиллюстрируем процедуру моделирования на примере. Пусть индивидуальный риск травмирования жителя некоторого города составляет r при их общем числе N. Для оказания помощи пострадавшим в городе создан пункт медицинской помощи в составе некоторого числа k выездных бригад, находящихся в состоянии постоянной готовности к выезду для оказания помощи. Пусть среднестатистическое значение времени оказания помощи одному пострадавшему составляет тп. В этой ситуации возможна постановка различных практически значимых вопросов. Например: сколько экипажей оказания помощи надо иметь для удовлетворительного обслуживания жителей; какова вероятность немедленного обслуживания пострадавшего; какой будет нагрузка на медицинских работников и т.д.?
В терминах теории марковских процессов совокупность взаимодействующих элементов обозначенной схемы (в нашем примере - пострадавшие и экипажи медицинских работников) принято называть системой, присвоим ей символ S. Далее следует умозрительно выявить и перечислить все возможные состояния системы, их будем обозначать: S0, Si, S2, ..., Sk. Применительно к нашему примеру такими состояниями могут быть: - все экипажи свободны, обращений пострадавших нет; - один пострадавший обратился за помощью, к нему выехал один экипаж;
Sk - задействованы все k экипажей.
Схематично изобразим процесс изменения состояний в виде так называемого графа состояний, он приведен на рис. 1.8. Граф состоит из образов всех возможных состояний, соединенных стрелками, показывающими направления возможных перескоков системы, у каждой стрелки записывается значение интенсивности соответствующего потока событий, изменяющих состояние в направлении стрелки. Если все названные атрибуты графа состояний присутствуют, он называется размеченным.

Рис. 1.8


Система, соответствующая графу состояний, в каждый момент времени может находиться в одном из возможных состояний. В то же время по направлению каждой из стрелок непрерывно генерируется случайный поток событий, способных изменить то состояние системы, из которого выходит данная стрелка.
Таким образом, события вдоль каждой стрелки генерируются непрерывно, но изменяет состояние системы лишь первое событие в потоке, исходящем из того состояния, в котором система находится в данный момент.
Здесь нужно сделать ремарку о том, что пока будем считать все потоки событий в системе пуассоновскими. В рассматриваемом примере интенсивность потока обращений пострадавших в пункт медицинской помощи составляет: X = rN. Потоки событий такой интенсивности будут изменять состояния системы в направлении слева направо. При этом возможными будут перескоки лишь в соседние состояния, так как пуассоновские потоки ординарны. По мере завершения процедуры оказания помощи будут освобождаться бригады медицинских работников, система будет изменять состояния, переходя из состояния Si в состояние 5/_ь соответствующие потоки событий также ординарны. Однако эти потоки будут иметь разную интенсивность. В самом деле, рю = 1/тп, но р21 = 2рю , две обслуживающих бригады имеют производительность в два раза больше, чем одна и т.д.
Если размеченный граф состояний марковского процесса построен, и задано начальное состояние системы, то становится возможным определение вероятности любого состояния системы в любой момент времени. Это значит, что аппарат теории марковских процессов позволяет получать ответы на многие практически важные вопросы. Например, вероятность немедленного выезда медиков по вызову пострадавшего определится как сумма вероятностей для всех состояний, кроме последнего. Или среднее число одновременно задействованных бригад медиков найдется как математическое ожидание случайного числа одновременно задействованных брига и т.д.
Процедура определения вероятностей состояний при заданном размеченном графе состояний основывается на использовании математических соотношений, носящих название уравнений Колмогорова. Смысл этих соотношений нетрудно понять, воспроизведя их вывод.
Рассмотрим некоторый абстрактный граф состояний, приведенный на рис. 1.9. Поставим себе цель: выразить вероятность того, что система в произвольный момент времени t gt; 0 окажется в заданном состоянии, например в состоянии S2. Другими словами, необходимо установить зависимость Р2 от времени - функцию P2(t).

Рис. 1.9


Зададим малое приращение At и выразим вероятность Р2 (t + At). В момент t + At система (иными словами - процесс) может случайно оказаться в состоянии S2 в итоге суммирования двух несовместных случайных событий.
Первое: в момент времени t процесс находился в состоянии S2 (вероятность этой ситуации равна P2(t)) и за время At не изменил этого состояния (вероятность этой ситуации, с учетом малости At и ординарности потоков событий, равна 1 - (А23 + А24)At; а общая вероятность этого события, как произведения двух независимых событий, равна P2(t) (1 - A23At - A24At).
Второе: в момент t процесс был в состоянии S1 и за время At перешел в состояние S2, вероятность этого варианта, как произведения этих двух событий, составит P1(t)A 12At.
Следовательно,
P2 (t + At) = P2 (t)(1 — ^23 At — ^24 At) + P1 (t)^12 At .
Преобразуем данное соотношение:
[P2 (t + At) - P2 (t)] 1 At = -h 23 P2 (t) - ^ 24 P2 (t) + ^12 P1 (t) .





Такое уравнение можно записать для каждого состояния, их называют уравнениями Колмогорова. Правило записи этих уравнений достаточно простое: производная по времени от вероятности любого возможного состояния приравнивается алгебраической сумме произведений вероятностей состояний на интенсивность потока событий, взятых для тех стрелок, которые связаны с рассматриваемым состоянием; знак слагаемых: плюс, если стрелка направлена к нему, и минус, если от него; значение интенсивности всегда умножается на вероятность того состояния, из которого стрелка исходит. Соответственно этому правилу общий вид уравнений Колмогорова можно представить в виде

Граф состояний процесса в совокупности с уравнениями Колмогорова, записанными для него, можно считать полной марковской математической моделью изучаемого процесса.
Отметим, что уравнения (1.14) справедливы и в случае, когда интенсивности потоков событий (Xjj) переменны во времени, т.е. являются функциями времени. Конечно, решение системы дифференциальных уравнений даже при постоянной интенсивности потоков событий может оказаться делом непростым. Но главным в математическом моделировании опасных ситуаций и событий является умение представить процесс адекватной схемой и записать соответствующие дифференциальные уравнения. Современные вычислительные средства позволяют решать и более сложные системы уравнений. При решении системы уравнений следует одно из
дифференциальных уравнений заменить очевидным:
Далее остановимся на рассмотрении специфических случаев применения теории марковских случайных процессов, а именно: случая беступикового графа состояний; случая непуассоновских потоков событий в системе.
40

Для иллюстрации этих случаев обратимся к графу состояний некоторого условного процесса, приведенного на рис. 1.10.

Рис. 1.10


Случайный процесс согласно этому графу состоит из трех состояний, причем процесс протекает так, что он может попадать в любое состояние из любого другого, пусть не непосредственно, а через другие, промежуточные. В графе нет таких состояний (тупиковых), из которых процесс не мог бы выйти, попав в него. Такие графы состояний условимся называть беступиковыми. Если же граф состояний является тупиковым, то процесс будет развиваться так, что рано или позже, попав в тупиковое состояние, он остановится.
Далее предположим, что потоки случайных событий, обозначенных интенсивностями Я12,, Я23 и Я32, являются пуассоновскими, а поток интенсивностью Я21 - непуассоновским. Пусть для последнего потока событий отношение математического ожидания mt к среднему квадратическому отклонению ot случайного времени между следующими друг за другом событиями равно V3:

Поясним вначале, каким образом такой граф состояний можно привести к такому, чтобы все потоки событий в нем можно было бы считать пуассоновскими, и тогда правомерным станет описание процесса уравнениями Колмогорова. Очевидно, для этого следует поток событий интенсивностью Я21 считать эрланговским. Порядок соответствующего потока Эрланга найдем согласно соотношению (1.11), в данном случае имеем:
Тогда введем два «псевдосостояния» (не имеет значения, что под ними подразумевается) и будем считать, что переход процесса из состояния S2 в состояние S1 происходит не непосредственно, а через псевдосостояния, причем с утроенной интенсивностью пото-

ков событий (3^2i), которые теперь можно считать пуассоновскими. Видоизмененный граф состояний приведен на рис. 1.11. Теперь с полным основанием можно записать уравнения Колмогорова, решая такую систему уравнений надо помнить, что вероятность состояния S2 должна вычисляться как


Теперь обратим внимание на то, что граф состояний, приведенный на рис. 1.10 (следовательно, и на рис. 1.11), является беступиковым. Конечно, если для него будет задано начальное состояние, то можно обычным порядком искать для каждого состояния закон изменения вероятности во времени. Однако при достаточно большом времени, при многократных изменениях состояний процесс станет статистически постоянным - средняя относительная продолжительность пребывания процесса в каждом из состояний окажется постоянной, стремясь к вероятности соответствующего состояния. Следовательно, при достаточно длительном протекании процесса производные по времени от вероятностей состояний могут быть приняты равными нулю. Тогда дифференциальные уравнения (1.14) превратятся в алгебраические. Запишем такие уравнения для графа состояний, приведенного на рис. 1.11:




Решая эту систему уравнений, получим:

Соответствующие численные значения вероятностей, полученные из этих соотношений, выражают долю времени, в течение которого процесс будет оставаться в соответствующем состоянии. С учетом того, что состояния 521 и 522 - фиктивные, доля времени, в течение которого процесс будет пребывать в фактическом состоянии 52, будет равна: Р2 + Р21 + Р22. 
<< | >>
Источник: Е.А. Крамер- Агеев, В.В. Костерев, И.К. Леденев, С.Г. Михеенко, Н.Н. Могиленец, Н.И. Морозова, С.И. Хайретдинов. Основы безопасности жизнедеятельности: учебное пособие. 2007

Еще по теме Прогнозирование опасных ситуаций и событий методом математического моделирования:

  1. 5.8. Моделирование и прогнозирование цен
  2. 3.4. Экономико-математическое моделирование как способ изучения и оценки хозяйственной деятельности
  3. 5.3.1. Методы моделирования экономических информационных систем
  4. 2.3. ТА: методы прогнозирования
  5. Метод математического программирования
  6. 3.3. Статистические и экономико-математические методы анализа
  7. 5.3.2. Методологические основы применения метода имитационного моделирования
  8. 9.5. Методы прогнозирования
  9. 1.4.2. Моделирование с помощью методов Монте-Карло
  10. 1.3.4. Математические методы оценки экономических рисков
  11. 5.4.2. Методы моделирования знаний