1.5. Математические модели потоков опасных случаев

  Практически всякая разновидность опасных случаев реализуется многократно. Последовательность таких реализаций будем называть потоком опасных случаев (конкретнее - ситуаций или событий). Количественная оценка вредоносности потоков опасных случаев предполагает использование математического аппарата, иначе - математического моделирования.
Применительно к рассматриваемой проблематике оно имеет целью поиск ответов на вопросы «что? где? когда?», может создать угрозу или нанести поражение чему-либо жизненно важному или можно предпринять, чтобы минимизировать вредоносность опасности. В данном и следующих разделах рассмотрим наиболее подходящие варианты математических моделей, применимых для анализа потоков опасных случаев и мер по снижению их вредоносности [5].
Начнем с рассмотрения моделей потоков опасных случаев. Построение всякой математической модели предполагает принятие некоторых упрощений, абстракций, создающих возможность описывать рассматриваемую ситуацию математическими соотношениями. В данном случае примем следующие постулаты. Время, место и вредоносность опасных случаев в потоке случайны. Приемлемость данного постулата подтверждается каждодневной практикой, хотя, следует оговориться, что в потоках опасных случаев могут проявляться и факторы детерминированности. Отдельные реализации опасных случаев являются событиями, мгновенными во времени и точечными по пространственному признаку. Это допущение является существенной абстракцией: фактически всякое событие развивается на протяжении определенного промежутка времени и в очаге, имеющем конечные размеры. Мы не ставим перед собой цель - учесть в модели эти обстоятельства, и данным постулатом утверждаем это. В неизменных условиях жизнедеятельности потоки опасных случаев обладают свойством статистической устойчивости, т.е. средние значения характеристик потоков опасных случаев сохраняются неизменными или устойчиво периодически изменяются под влиянием некоторых детерминированных обстоятельств. В сходных условиях жизнедеятельности взаимно обособленных групп людей с одинаковыми поведенческими чертами средне

статистические параметры потоков опасных случаев примерно одинаковы. Этот постулат дает возможность распространять результаты оценки безопасности жизнедеятельности, полученные для одного региона, на другие регионы.
5. Потоки опасных случаев аддитивны по показателям вредоносности. Это значит, ущербы и риски, обусловленные разными опасностями, суммируются.
Основываясь на перечисленных постулатах, рассмотрим несколько часто используемых математических моделей, применимых для описания потоков опасных случаев.
Вначале займемся рассмотрением временной картины потока опасных случаев.
Обратимся к рис. 1.6. Пусть за некоторый прошедший период времени Т произошло N опасных событий, их моменты (см. постулат 2) известны: t'1, 1', ..., t', ..., t'N, на временной оси они обозначены. Если и временной интервал Т, и общее число опасных случаев N достаточно большие, то картину событий можно считать представительской и согласно постулату о статистической устойчивости утверждать, что за достаточно длительный предстоящий период времени Т количество опасных событий N будет таким, что интенсивность потока останется прежней:

Рис.
1.6
Подчеркнем, что фактически не может быть строгого равенства между X и X', их значения будут статистически сближаться с увеличением Т и Т , и следовательно, N и N .
Моменты реализации отдельных опасных событий на интервале Т предсказать точно невозможно, на основе соотношения (1.3) можем лишь с некоторой достоверностью предсказать их общее количество.

Выделим на временном интервале Т некоторый интервал т и попробуем предсказать вероятность того, что в него попадет некоторое число опасных событий п lt; N.
Примем версию о полном хаосе распределения моментов всех N событий на временном интервале Т, т.е. произвольное (i-е) событие может случайно попасть в интервал т. Вероятность такого исхода составит:
Вероятность того, что конкретные опасные события в количестве n попадут в интервал т, а остальные, в количестве N - п, не попадут в него (произведение независимых случайных событий), равна:


Число возможных, отличающихся составом, комбинаций из N опасных событий по n в каждой комбинации равно числу сочетаний из N по п. Следовательно, с учетом несовместимости исходов (комбинаций) искомая вероятность того, что в интервал т попадет ровно n любых опасных событий из общего их количества, равного N, будет:




Записанное выражение носит название биномиального распределения. По логике этого выражения на любом конечном интервале времени т lt; Т может произойти число опасных событий в количестве п, причем 0 lt; п lt; N. Биномиальное распределение получено при условии заданности параметров Т и N. Это условие часто не согласуется с логикой случайности опасных событий. Исключить этот недостаток биномиальной модели потока опасных случаев можно за счет следующей несложной процедуры преобразования формулы (1.4). Произведем замену (N = XT), и далее:

Теперь устремим Т к бесконечности и используем формулу замечательного предела:

Итак,
(1.5)
Полученное соотношение носит название «распределение Пуассона». В пуассоновской модели нет необходимости в задании числа событий N, которые должны произойти в интервале времени Т, как это было в биномиальной модели.
Распределение Пуассона обладает рядом замечательных свойств, и к нему еще вернемся. Но предварительно нам целесообразно кратко остановиться на трех фундаментальных свойствах всевозможных потоков случайных событий, приведем их без детального объяснения.
Любой поток случайных событий (таковыми являются и рассматриваемые нами потоки опасных случаев) можно представить в виде непрекращающейся череды мгновенных процессов, совершающихся в случайные моменты времени, параметр X численно равен их среднестатистической частоте. Поток событий называется стационарным, если X = const, в противном случае он называется нестационарным, для него параметр X является некоторой функцией времени - X(t). Поток событий называется ординарным, если события совершаются поодиночке, это можно выразить формулой:

В иных случаях он называется неординарным. Поток событий называется потоком без последействия, если в любой момент времени вероятность событий в будущем не зависит от того, когда и сколько событий произошло до этого момента. Другими словами потоки без последействия «не обладают па-

мятью». Потоки с противоположным свойством называются потоками с последействием.
Ординарные потоки без последействия называются еще пуассоновскими. Если такой поток к тому же стационарен, то он называется пуассоновским стационарным или простейшим.
Формула (1.5) описывает поведение простейшего потока. Для нестационарного пуассоновского потока формула (1.5) принимает вид
(1.6)
Итак, в пуассоновском потоке события следуют друг за другом по одиночке, интервалы между ними - случайная величина. При практическом применении пуассоновского потока в качестве модели потока опасных случаев важным становится выявление числовых характеристик этой случайной величины. Приведем основные из них.
Не сложно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайного числа событий п, имеющих пуассоновское распределение, составляют Ат:
(1.7)
Функцию распределения случайного интервала времени t между событиями потока найдем из условия:

где Р0 - вероятность того, что за промежуток времени t не произойдет ни одного события. Эту вероятность найдем из соотношения (1.5), положив в нем п = 0 и т = t. В результате получим:


Если вместо t задаться элементарным (стремящимся к нулю) промежутком времени At, то с учетом ординарности потока событий из последнего выражения получим значение вероятности того, что за промежуток времени At произойдет ровно одно событие:

Соответственно найдем выражение для плотности распределения случайной величины t:
(1.8)
Затем определим математическое ожидание mt, дисперсию Dt и среднеквадратическое отклонение ot случайной величины t:

(1.9)
Таким образом, случайная величина временного интервала между событиями пуассоновского потока распределена по показательному закону, а ее среднее значение и среднеквадратическое отклонение равны.
Модели пуассоновских потоков, как уже отмечалось, соответствуют условию полного хаоса в последовательности их повторения. Это адекватно соответствует реальной картине повторения большинства разновидностей опасных случаев, поэтому такие модели находят широкое применение для прогнозирования вредоносности опасностей и для оценки эффективности мер противодействия им. В то же время многие опасные случаи обнаруживают такую закономерность: после очередного опасного события следует некоторый период «спокойствия», следующее событие как бы «созревает» и реализуется по истечении некоторого промежутка времени. Другими словами, для таких потоков опасных случаев характерна определенная регулярность, по крайней мере, в сравнении с пуассоновскими потоками. Эти потоки обладают «памятью» своей предыстории, они относятся к категории потоков с последействием.
Для математического моделирования потоков опасных случаев с признаками наличия последействия удобно использовать модели потоков Эрланга. Образно говоря, потоки Эрланга образуются путем «просеивания» пуассоновского потока. Поясним это с помощью рис. 1.7.
На верхней временной оси Ot отмечены моменты событий пуассоновского потока. Если этот поток «просеять», оставив каждое

второе, а остальные исключить из потока, то образованный поток событий (их моменты реализации отображены на временной оси ниже) будет обладать свойствами, отличными от свойств исходного пуассоновского потока. Назовем образованный поток потоком Эрланга второго порядка (Э-2). Если из исходного пуассоновского потока оставить каждое третье событие, то получим поток Эрланга третьего порядка (Э-3) и т.д. Исходный пуассоновский поток событий логично назвать еще потоком Эрланга первого порядка (Э-1).



X
Э-2


Э-1

О
О
О

7

Э-З


Рис. 1.7
Если исходный пуассоновский поток имеет интенсивность X, то поток Эрланга z-го порядка будет иметь интенсивность Xz = X/z. Можно доказать, что для потока Эрланга z-го порядка математическое ожидание временного интервала между событиями mt, дисперсия Dt и среднеквадратическое отклонение ot равны соответственно:
(1.10)
Важно отметить, что при z ^ да дисперсия и среднеквадратическое отклонение временного интервала между событиями потока Эрланга стремятся к нулю. Это значит, что с увеличением порядка потока Эрланга он приближается к регулярному с постоянным интервалом между событиями.
Из последних соотношений следует:
(1.11)

Из этого соотношения следует важная для практики рекомендация. Произведя статистический анализ моментов реализации опасных событий за некоторый истекший период времени, можно определить mt и Dt, а далее по соотношению (1.11) оценить порядок потока Эрланга, который соответствует ему (естественно, значение z должно быть округлено до целого). Тогда, прогнозируя ситуацию на предстоящий период, в качестве математической модели потока опасных случаев следует использовать модель потока Эрланга того же порядка.
До сих пор рассматривались математические модели, описывающие временную картину потоков опасных случаев. В некоторых случаях требуется прогнозировать пространственно-временную картину опасных случаев, когда события хаотично распределяются по некоторой территории. Покажем, как можно приспособить записанные выше соотношения для математического моделирования соответствующей этому случаю ситуации.
Закон распределения случайных величин, носящий имя Пуассона, может быть применен не только для одномерных случаев, как предполагалось в вышеизложенном (распределение событий на временной оси), но и для многомерных, когда точки (события) распределены в некоторой области (плоскости, объеме и т.д.). Если заданы статистические характеристики, то для описания распределения точек (событий) применим закон Пуассона.
Пусть за период времени Т на некоторой территории площадью S произошло N опасных событий. Будем считать, что события распределяются хаотично по времени и площади. Поставим перед собой задачу спрогнозировать число опасных событий за период времени т на участке территории с. Используя логику вывода формулы Пуассона, можно записать выражение для вероятности того, что это число окажется равным ровно n:
(1.12)
Данное выражение описывает так называемое пуассоновское поле - закон распределения в нем событий. Нетрудно видеть, что при с = S это выражение трансформируется в известную формулу Пуассона. Положив т = Т, выражение можно использовать для опи-
сания территориального распределения опасных случаев. Еще раз заметим, что при записи выражения (1.12) принята была версия о полном хаосе распределения событий как по времени, так и по территории. Нетрудно видеть, что при необходимости учесть признаки регулярности, можно образовать модель эрланговского поля событий.
В заключение сделаем следующее замечание. В формулах, выражающих вероятности, часто встречаются биномиальные коэффициенты и факториалы, вычисление которых затрудняется их громоздкостью. Эта процедура может быть облегчена применением асимптотической формулы Стирлинга:
(1.13)
Для этих же целей можно использовать справочные таблицы, выборочные данные из одной такой таблицы приведем в табл. 1.2.
Таблица 1.2

n

1

5

10

15

20

30

40

50

70

100

200

300

lg n!

0

2,08

6,56

12,12

18,39

32,42

47,91

64,48

100,08

157,91

394,90

614,49
<< | >>
Источник: Е.А. Крамер- Агеев, В.В. Костерев, И.К. Леденев, С.Г. Михеенко, Н.Н. Могиленец, Н.И. Морозова, С.И. Хайретдинов. Основы безопасности жизнедеятельности: учебное пособие. 2007

Еще по теме 1.5. Математические модели потоков опасных случаев:

  1. Математические модели: введение
  2. 7.1. Развитие экономико-математических моделей
  3. Математический анализ модели
  4. Глава 7 ПРОСТЕЙШИЕ ТИПОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  5. 1.3. Расчет таблицы денежного потока. Анализ денежного потока компании
  6. 4.3.2. Потоки платежей
  7. КЛАССИФИКАЦИЯ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ.
  8. 12.8. Анализ денежных потоков
  9. 7.4. Модель развития экономики (модель Харрода)
  10. Характеристика потоков информации
  11. 3.3. Статистические и экономико-математические методы анализа
  12. Математическое упражнение
  13. 2.1. Денежные потоки в экономике